6.2.2排列数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.2 排列数 一、知识回顾 1.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. 前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式. 二、排列数 符号 中的A是英文 arrangement(排列)的第 一个字母. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. 例如: 问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为 .已经算得 =3×2=6. 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为 .已经算得 =4×3×2=24. 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少? 可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 .根据前面的求解经验，可以这样考虑: 现在来计算有多少种填法.完成“填空” 这件事可以分为两个步骤完成: 第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个不同元素中任选1个，有n种选法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任选1个，有(n-1)种选法. 假定有排好顺序的两个空位，如左下图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到. 因此，所有不同填法的种数就是排列数 . 第1位 第2位 n种 (n-1)种 根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为 n(n-1) 三、探究新知 三、探究新知 同理，求排列数 可以按依次填3个空位来考虑，则 =？ n(n-1)(n-2) 一般地,求排列数 可以按依次填m个空位来考虑: 假定有排好顺序的m个空位，如下图所示，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数 . 填空可以分下面m个步骤完成: 第1位 第2位 第3位 第m位 … 三、探究新知 n种 (n-1)种 第1位 第2位 第3位 第m位 … (n-2)种 (n-m+1)种 第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1个位，有n种选法； 第2步，从剩下的(n-1)个元素中任选1个填在第2位，有(n-1)种选法； 第3步，从剩下的(n-2)个元素中任选1个填在第3位，有(n-2)种选法； …… 第m步，从剩下的[n-(m-1)]个元素中任选1个填在第m位，有(n-m+1)种选法. 根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为: n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 这样，我们就得到: 四、排列数公式 排列数公式: (m、n∈N*，并且m≤n) 你能说出排列数公式的特点吗? 特别地，把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.这时，排列数公式中m=n，即有 =n(n-1)(n-2)×…×3×2×1 也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示． 于是，n个元素的全排列数公式可以写成 规定：0!=1 根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数.例如： 5×4=20， 8×7×6=336. 五、精典例题 例1 计算： 由例3可以看到， 观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗? =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 事实上， 因此，排列数公式还可以写成 例2 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 五、精典例题 解法1： 例2 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 五、精典例题 解法2： 例2 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 五、精典例题 解法3： 对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法. 解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事； 解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事； 解法3是一种间接法，先求出从10