圆锥曲线解答题专项训练:角度问题——2024届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线--角度问题 1．（23-24高三下·北京·开学考试）已知直线与椭圆相切，定点和原点的中点为椭圆右顶点. (1)求椭圆方程及离心率； (2)已知椭圆上第一象限内动点与第三象限内动点，定点，直线交于两点，若，求证：三点共线. 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知点，集合，点，且对于S中任何异于P的点Q，都有． (1)证明：P在椭圆上； (2)求P的坐标； (3)设椭圆的焦点为，证明：． 参考公式：． 3．（2023·北京丰台·三模）已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 4．（2023·北京·模拟预测）椭圆的焦距为为椭圆右焦点，. (1)求椭圆的方程与离心率； (2)设为原点，为椭圆上一点，的中点为.直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点.求证：. 5．（2023·北京海淀·二模）已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小． 6．（2022·北京西城·一模）已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 7．（22-23高三·北京·阶段练习）设为坐标原点，直线与抛物线相交于，两点，在，两点处的切线相交于点，当时，. (1)求的标准方程； (2)设的焦点为，证明：. 8．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知点在椭圆（）上，且该椭圆的离心率为.直线l交椭圆于P，Q两点，直线，的斜率之和为零， (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积. 9．（21-22高二下·北京平谷·期末）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值. 10．（2022·北京东城·二模）已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线，分别交直线于点M，N． (1)求椭圆E的方程； (2)设O为原点．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线--角度问题 1．（23-24高三下·北京·开学考试）已知直线与椭圆相切，定点和原点的中点为椭圆右顶点. (1)求椭圆方程及离心率； (2)已知椭圆上第一象限内动点与第三象限内动点，定点，直线交于两点，若，求证：三点共线. 【解析】 （1）依题意，有：，，， 解得， 故椭圆的标准方程为， （2）法一：倾斜角互补 依题意，直线与轴不重合，设直线， 故               ，                            因为，所以，即    则      即         则，解得或                        当时，无法使分别位于一、三象限，不合题意，舍去； 故，，过定点，则三点共线. 法二：角度化坐标 依题意，直线与轴不垂直，设直线， 故               ，                             直线，取，有           因为，所以 即，也即   可化简为 则                     解得，此时，过定点，则三点共线 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知点，集合，点，且对于S中任何异于P的点Q，都有． (1)证明：P在椭圆上； (2)求P的坐标； (3)设椭圆的焦点为，证明：． 参考公式：． 【解析】 （1）记，若不在上，则在内. 因为，所以在外，设线段与有一交点，此时和共线反向，，不合题意，因此在上. （2）等价于. 记在上的投影向量为，则条件等价于，， 这表明是上与距离最小的点. 设，则，. 因为， 故，当且仅当时取等号. 所以， 又，故，故，当且仅当且时取等号，解得，故此时. （3）因为，，设直线与轴交于，则，解得. 故，则要证即证. 又，故轴，故. 在和，由正弦定理，， 又和互补，所以，所以，从而有. 3．（2023·北京丰台·三模）已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标