2024年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》专题提升训练

2024年春九年级数学中考复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案） 1．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．    (1)求证：是的切线． (2)若，，，求的长． 2．如图，是的直径，点在圆上，点在圆外，点和点在直径的同侧，与相交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的面积． 3．如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，与交于点E，过点E作的切线，交于点F．    (1)求证：； (2)若的半径是，，求的长． 4．如图，是的外接圆，直径，直线经过点，于点，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 5．如图，的弦直径，垂足为E，P是延长线上一点，连接交于点F，连接交于点G，过点P作的切线，切点M在上，连接    (1)若，，求的半径； (2)若平分，求证：； (3)求证：． 6．如图，内接于，为直径，，延长至点使，作平分交于点，交于点．连接，．    (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 7．如图，为的切线，B为切点，直线交于点E，F，过点B作的垂线，垂足为点D，交于点A，延长与交于点C，连接． (1)求证：直线 为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值和线段的长． 8．如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接，过点D作的切线与的延长线交于点P．    (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求线段的长． 9．如图，AB是的直径，D，E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)设交于点G，若，，，求的值． 10．如图1，已知，点A是以为直径的半圆O弧上的三等分点，连接、．    (1)填空：_______； (2)如图2，点D在上，连接，过点A作，若， ①求证：与半圆O相切； ②若，求的值． 11．如图，均为⊙O的直径，交于点F，且，与的交点为G．    (1)求证：； (2)连接，若，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，连接，交于点H，求的值． 12．已知：是的两条弦，于点，连接并延长交于点，．      (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点作于点，交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点为边上一点，连接，，若，，求的半径． 13．内接于， 的半径于H，连接．    (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点E作的垂线，垂足为D，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交线段于F，连接，若点H是的中点，，的面积为，求的长． 14．如图1，四边形内接于，对角线，相交于点E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)如图2，连接交与点F，，，求的半径长度； (4)如图3，若，延长至点F，若平分，记的面积为，面积为，面积为，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，说明理由． 15．如图，点E，F分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点G，且与相切，连接．      (1)若，求证：． (2)若，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长． (3)连接，若的延长线经过点A，且，求的值． 16．如图1，内接于中，为直径，点在弧上，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，点在线段上，连接交于点，若，，，求线段的长． 17．如图1，已知为的直径，点C为的中点，点D在上，连接、、、、与相交于点E．    (1)求证：； (2)如图2，过点C作的垂线，分别与，，相交于点F、G、H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求． 18．【问题背景】 如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．    (1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________； (2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长． 参考答案： 1．（1）证明：如图，连接，， ∵， ∴为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为．    2．（1）证明：过点C作于点F， ∵，