6.4.3余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第一课时　余弦定理 　6.4.3　余弦定理、正弦定理 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 引入 探究1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B. 1.余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的余弦的__________. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝__________________， b2＝__________________， c2＝__________________. 知识梳理 平方的和 积的两倍 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 温馨提示： (1)适用范围：任意三角形. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知三求一”. √ A.2 B.4 C.6 D.8 √ √ 利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8. 小结： 1.已知两边及其夹角解三角形的方法：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 2.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 根据题意，由余弦定理可得 因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角. √ 探究2 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，如何解三角形？ 知识梳理 余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝__________________， cos B＝ ___________________ ， cos C＝ ____________________. 例3 若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B＝ √ 变式训练 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l， 因为l＝5c，所以a＝b＝2c， 由余弦定理的推论，得 √ 探究3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示　A为直角⇔a2＝b2＋c2； A为锐角⇔b2＋c2>a2(前提是b，c是两个较小边)； A为钝角⇔b2＋c2<a2. 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两个思路： (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理. 例5 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B， 而B＝60°，b2＝ac， 即(a－c)2＝0，所以a＝c. 又B＝60°， 所以△ABC一定是等边三角形. √ A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 所以b2＋c2－a2＝2b2， 即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形. √ 1.在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于 A.30° B.45° C.60° D.90° 由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3， 所以△ABC为直角三角形，A＝30°. √ 随堂小练 √ 3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________. 由