圆锥曲线解答题专项训练:面积问题——2024届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线--面积问题 1．（23-24高三上·北京房山·期末）设椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点是椭圆上的一个动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的4倍，求直线的方程. 2．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）已知椭圆的离心率为，以椭圆的上､下顶点和右焦点为顶点的三角形的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，过点的直线交椭圆于点，直线交直线于点，若与的面积相等，求直线的方程. 3．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值. 4．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知椭圆的左右两个焦点为，且，椭圆上一动点满足． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)如图，过点作直线与椭圆交于点，过点作直线，且与椭圆交于点，与交于点，试求四边形面积的最大值． 5．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知椭圆 的一个焦点为，椭圆与y轴的一个交点的坐标为． (1)求椭圆方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点(点A在点B左侧)，点A关于轴的对称点为，求面积的最大值． 6．（2023·北京大兴·三模）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 7．（2023·北京·模拟预测）已知椭圆经过和两点，点为椭圆C的右顶点，点P为椭圆C上位于第一象限的点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N． (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)比较的面积与的面积的大小，并说明理由． 8．（2023·北京西城·二模）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值． 9．（2023·北京·模拟预测）如图所示，过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，连接AB，交y轴于点P． (1)求点P的坐标； (2)证明：存在相异于点P的定点T，使得恒成立，请求出点T的坐标，并求出面积的最小值． 10．（22-23高三下·北京·开学考试）已知椭圆的短轴长为，直线与轴交于点，椭圆的右焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若原点在以为直径的圆上，求直线的方程； (3)过点且垂直于轴的直线交椭圆于另一点，证明：三点共线，并直接写出面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线--面积问题 1．（23-24高三上·北京房山·期末）设椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点是椭圆上的一个动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的4倍，求直线的方程. 【解析】（1）由，，解得，，故， 即椭圆的标准方程为； （2）由椭圆的标准方程为，则、、， 由题意可得直线斜率存在且不为，设， 令，则，故， 联立，消去得， 即，故或， 由，故， 则， 又，即， 即， 若，则，即， 即，即，则， 若，则，即，不符，故舍去， 即，故， 即直线的方程为. 2．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）已知椭圆的离心率为，以椭圆的上､下顶点和右焦点为顶点的三角形的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，过点的直线交椭圆于点，直线交直线于点，若与的面积相等，求直线的方程. 【解析】（1）依题意有：，解得， 所以椭圆. （2）①当直线的斜率不存在时，不合题意. ②设的方程为， 联立， 由于点在椭圆内，因此恒成立，， 直线，同理， 因为 所以，解得或. 综上，直线的方程为或.    3．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值. 【解析】（1）由题意得，，则，则， 则椭圆的方程为. （2）显然当直线的斜率为0和不存在时，不合题意， 则可设直线的方程为，，， 则联立椭圆方程有，化简得， 则，解得或， 则，，，，， 则，则直线的方程为，令，则， ，则直线的方程为，令，则， 则，，因为，则同号， 则 . 4．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知椭圆的左右两个焦点为，且，椭圆上一动点满足． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)如图，过点作直线与椭圆交于点，过点作直线，且与椭圆交于点，与交于点，试求四边形面积的最大值． 【解析】（