重点突破3 利用导数证明函数不等式 讲义——2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

03 利用导数证明函数不等式-重点突破 【知识梳理】 一、常见函数不等式的证明 （1）型 ①；②；③；④. （2）型 ①；②；③；④. （3）. 二、含参函数不等式的证明 （1）在定义域内，对任意，有恒成立，在定义域内，存在，使得成立. （2）在定义域内，对任意，有恒成立，在定义域内，存在，使得成立. （3）在定义域内，对任意，有恒成立. （4），，； ，，； ，，； ，，.. 【题型精讲】 题型一、常见函数不等式的证明 例1. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 例2. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）若，求证：. 例3. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：. 例4. 若，则（ ）. A. B. C. D. 题型二、 含参函数不等式的证明 例5. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 例6. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）证明不等式恒成立. 例7. 已知函数（其中为自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：. 【课堂练习】 1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知. (1)求单调区间； (2)若在上为增函数，求的取值范围. （参考值：） 2．（2024上·广东深圳·高二统考期末）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 3．（2023下·广东深圳·高二统考期末）已知. (1)当时，讨论的单调性； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$