04 利用导数研究函数零点 重点突破讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

04 利用导数研究函数零点-重点突破 【知识梳理】 一、导数与函数零点 （1）函数图象的交点问题，方程的根，均可归结为函数的零点问题； （2）零点问题往往通过函数的单调性、极值等，利用零点存在性定理判断； （3）利用导数判断函数的单调性，通过特殊点画出函数的大致图象，可较直观理解零点问题. 二、极限叙述 1.零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 2.零点个数判断 （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点的存在性：根据零点存在性定理，再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有几个零点. （3）对于型函数，可先画出两个函数和的图象，看其交点的个数，有几个交点，原函数就有几个零点. 三、隐零点设参问题 1.不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则①有关系式成立，②注意确定的合适范围. 2.含参函数的隐零点问题 已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则①有关系式成立，该关系式给出了的关系，②注意确定的合适范围，往往和的范围有关. 【题型精讲】 题型一、导数与函数零点 例1. 设函数，则是（ ）. A.有一个零点的增函数 B.有一个零点的减函数 C.有二个零点的增函数 D.没有零点的减函数 例2. 若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 例3. 已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 题型二、极限叙述 例4. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 例5. 已知函数，.设的导函数为，试讨论的零点个数。 例6. 已知函数，其中是自然对数的底数，. （1）求函数的单调区间； （2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由. 例7. 已知函数在处的切线平行于轴. （1）当时，求在上的最大值； （2）若在上只有一个零点，求的取值范围. 题型三、隐零点设参问题 例8. 已知函数. （1）求的最小值； （2）若，求证：存在唯一的极大值点，且. 【课后作业】 1. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，讨论的零点个数. 2. 已知函数. （1）讨论函数零点的个数； （2）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 3. 已知函数f(x)＝ex－x＋2x2. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)若存在实数x，使得f(x)≤x2＋2x－3＋2m成立，求整数m的最小值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$