2024年中考数学 苏科版 二轮复习专题特训课件探究二次函数中的存在性问题

专题特训　探究二次函数中的存在性问题 类型一　探究三角形周长最小值的存在性 1.（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴交于点A（－2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C（0，6），D为线段BC上的一动点. 1 2 3 4 （第1题） （1） 求二次函数的表达式. 解：（1） 二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋6. （第1题） （2） 如图①，连接AD，OD.求△AOD的周长的最小值. 解：（2） 如图①，作点O关于直线BC的对称点E，连接EC，EB.∵ B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，∴ OB＝OC＝6.∵ 点O，E关于直线BC对称，∴ 易得四边形OBEC为正方形.∴ E（6，6）.∴ BE＝6.连接AE，交BC于点D'，连接D'O.由对称性， 可知D'E＝D'O，此时D'O＋D'A＝D'E＋ D'A＝AE，即DO＋DA的最小值为AE的长. ∵ A（－2，0），B（6，0），∴ AB＝8. ∴ AE＝＝10.∵ △AOD 的周长 为DA＋DO＋AO，AO＝2，DA＋DO的最小值为10， ∴ △AOD的周长的最小值为10＋2＝12. 1 2 3 4 （3） 如图②，连接AC，过动点D作DP∥AC，交二次函数图像在第一象限内的部分于点P，连接PA，PB，AD，记△PAD与△PBD的面积之和为S.当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值. （第1题） 1 2 3 4 解：（3） 易得直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋6，直线AC对应的函数表达式为y＝3x＋6.∵ PD∥AC，∴ 可设直线PD对应的函数表达式为y＝3x＋a'.设P（0＜m＜6）.将点P的坐标代入，得a'＝－m2－m＋6.∴ 直线PD对应的函数表达式为y＝3x－m2－m＋6.联立得D⁠.∵ 点P，D都在第一象限，∴ S＝S△PBD＋S△PAD＝S△PAB－S△DAB＝－（m－3）2＋.∵ －＜0，0＜m＜6，∴ 当 m＝3 时，S取得最大值，为，此时点P的坐标为. 1 2 3 4 类型二　探究等腰三角形的存在性 2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C. （1） 求该抛物线对应的函数表达式. 解：（1） 该抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3. （第2题） 1 2 3 4 （2） 若M为该抛物线的对称轴上的一点，P为该抛物线上的点且在对称轴的左侧，连接AP，PM，MA.当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标. 解：（2） ∵ y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴ 抛物线的对称轴为直线x＝1.设点M的坐标为（1，m），过点P作PE⊥对称轴于点E，记对称轴与x轴交于点D.分三种情况讨论：① 如图①，当点M在x轴的上方时，m＞0.∵ PM＝MA，∠PMA＝90°，∴ ∠AMD＋∠PME＝90°. ∵ ∠MAD＋∠AMD＝90°，∴ ∠MAD＝∠PME. （第2题） 1 2 3 4 又∵ ∠ADM＝∠MEP＝90°，∴ △AMD≌△MPE.∴ MD＝PE＝m，DA＝EM＝2.∴ 点P的坐标为（1－m，2＋m）.∴ －（1－m）2＋2（1－m）＋3＝2＋m，解得m1＝－2（不合题意，舍去），m2＝1.∴ 点M的坐标为（1，1）.② 当点M在x轴上时，显然不合题意.③ 如图②，当点M在x轴的下方时，m＜0.同①，可证△AMD≌△MPE. ∴ MD＝PE＝－m，DA＝EM＝2.∴ 点P的坐标为 （m＋1，m－2）.∴ －（m＋1）2＋2（m＋1）＋3＝ m－2，解得 m1＝2（不合题意，舍去），m2＝－3.∴ 点 M的坐标为（1，－3）.综上所述，点M的坐标为（1，1）或（1，－3）. 1 2 3 4 类型三　探究三角形面积关系的存在性 3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A（－1，0），B（4，0），与y轴交于点C，P为抛物线上位于BC上方的一个动点. （1） 求抛物线对应的函数表达式. 解：（1） 抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋2. （第3题） 1 2 3 4 （2） 过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，连接CP，CF.当S△PCE＝2S△CEF时，求点P的坐标. 解：（2） ∵ S△PCE＝2S△CEF，∴ PE＝2EF.在y＝ －x2＋x＋2中，令x＝0，则y＝2.∴ C（0，2）.易得 直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋2.设点P的坐标 为（0＜m＜4）.∵ PF⊥x轴， ∴ E，F（m，0）. ∴ PE＝－m2＋m＋2－⁠ ⁠ ⁠＝－m2＋2m，EF＝－m＋2.∵ PE＝2EF，∴ －m2＋2m＝2，解得m＝2或m＝4（不合题意，舍去）.∴ 点P的