圆锥曲线解答题专项训练：定点问题——2024届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线--定点问题 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知椭圆C：过点，长轴长为. (1)求椭圆方程及离心率； (2)直线l：与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线交于点P、Q，O为坐标原点且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标. 2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形. (1)求椭圆的方程； (2)已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 3．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）已知椭圆，长轴长为4， 离心率是 (1)求椭圆 C的标准方程； (2)斜率为且不过原点的直线交椭圆C于 A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点 G，交直线于点D. 若 证明：直线经过定点，并求出定点坐标. 4．（23-24高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标． 5．（2023·北京密云·三模）椭圆C：的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程和长轴长； (2)点M，N在C上，且.证明：直线MN过定点. 6．（2023·北京西城·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为. (1)求椭圆的方程及其焦距； (2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 7．（2023·北京海淀·三模）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为. (1)求椭圆C的方程； (2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上一点（不与A，B重合），直线AP，BP分别与直线相交于点M，N.当点P运动时，求证：以MN为直径的圆交x轴于两个定点. 8．（2023·北京海淀·三模）已知椭圆的焦距为2，长轴长为4. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.问：平面内是否存在定点，使得恒在直线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 9．（2023高三·北京海淀·专题练习）已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：以为直径的圆恒过定点． 10．（2023·北京房山·二模）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线--定点问题 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知椭圆C：过点，长轴长为. (1)求椭圆方程及离心率； (2)直线l：与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线交于点P、Q，O为坐标原点且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标. 【解析】（1）由椭圆的长轴为，得， 将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得得， 所以椭圆的方程为，离心率. （2）如图， 由消去y得，， ，即， 设、，则，． 直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 由，得，则， 于是， 即 整理得，解得或， 当时，直线方程为，即， 此时直线过定点，不符合题意，舍去； 当时，直线方程为，即，直线过定点，合乎题意， 所以直线经过定点，且定点坐标为. 2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形. (1)求椭圆的方程； (2)已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）  因为四边形是面积为2的正方形， 所以，， 故，且，解得，， 则所求方程为：； （2）（i）当直线的斜率不存在时， 因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为. 代入椭圆方程可得，可得， 则以为直径的圆的方程为. （ii）当直线的斜率为0时， 因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为. 代入椭圆方程可得，可得， 则以为直径的圆的方程为. 显然以上两圆都经过点. （iii）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为. 代入椭圆方程消去，得，    设，则. 所以. 所以①， 因为直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离，整理得②， 将②代入①，得，显然以为直径的圆经过原点， 综上可知，以为直径的圆过定点. 3．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）已知椭圆，长轴长为4， 离心率是 (1)求椭圆 C的标准方程； (2)斜率为且不过原点的直线交椭圆C于