2024年中考数学 苏科版 二轮复习专题特训课件圆中常用的辅助线作法

专题特训　圆中常用的辅助线作法 类型一　遇到定点长相等构造隐性圆 1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BO，∠DBC＝15°，则 ∠BDC＝ 　35　⁠°.  （第1题） 35　 2. ★如图①，把一块含45°角的三角尺ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角尺的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连接AF.取AF的中点M、EF的中点N，连接DM、MN. （1） 尝试探究：DM、MN之间的数量关系是 　DM＝MN　⁠，DM、MN之间的位置关系是 　DM⊥MN　⁠.  DM＝MN　 DM⊥MN　 （2） 猜想论证：证明你的结论. 解：（2） 连接AE.∵ M是AF的中点，N是EF的中点，∴ MN是△AEF的中位线.∴ MN＝AE.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ADF＝∠B＝90°，AD＝AB＝BC＝CD.∵ 在Rt△ADF中，M是AF的中点，∴ DM＝AF＝AM＝MF.由题意，知△ECF是等腰直角三角形，∴ FC＝EC.∴ CD－FC＝BC－EC，即DF＝BE.在△ADF和△ABE中，∴ △ADF≌△ABE.∴ AF＝AE. ∴ MN＝DM＝AM＝MF.∴ 点A、N、F、D在以点M为圆心，AF的长为半径的圆上.连接AN，则易得∠NAD＋∠DFN＝180°.又∵ ∠DFN＋∠NFC＝180°，∴ ∠NAD＝∠NFC＝45°.∴ ∠NMD＝2∠NAD＝90°.∴ DM⊥MN.　 （3） 拓展延伸：如图②，将图①中的直角三角尺ECF绕点C按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由. 解：（3） （1）中的两个结论还成立.连接AE，交DM于点G.∵ M是AF的中点，N是EF的中点，∴ MN是△AEF的中位线.∴ MN＝AE.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ADF＝∠B＝90°，AD＝AB＝BC＝CD.∵ 在Rt△ADF中，M是AF的中点，∴ DM＝AF＝AM＝MF.由（1）同理，可证△ADF≌△ABE.∴ AF＝AE. ∴ MN＝DM＝AM＝MF.∴ 点A、F、N、D在以点M为圆心，AF的长为半径的圆上.∴ 易得∠NMD＝2∠NFD＝90°.∴ DM⊥MN. 类型二　定角对定边构造所在圆 3. 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　B　） A. B. 2 C. D. （第3题） 4. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（－6，0），C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为 　（0，12）或（0，－12）　⁠.  B （0，12）或（0，－12）　 类型三　遇直径构造90°的圆周角 5. 如图，四边形ABCD内接于☉O，连接AC、BD相交于点E，AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB. 解：如图，延长CO交☉O于点F，连接DF.∵ AC⊥BD，∴ ∠AED＝90°. ∴ ∠ADE＋∠CAD＝90°.∵ ∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，∴ ∠ACB＋∠F＝90°.∵ CF为直径，∴ ∠CDF＝90°.∴ ∠F＋∠FCD＝90°.∴ ∠FCD＝∠ACB，即∠OCD＝∠ACB. 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作☉O，分别交BC、AC于点D、E. （1） 求证：BD＝CD. 解：（1） 如图，连接AD.∵ AB是☉O的直径，∴ ∠ADB＝90°. ∴ AD⊥BC.∵ AB＝AC，∴ BD＝CD. （2） 若∠BAC＝50°，求、、的度数. （2） 如图，连接OD、OE.∵ AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝50°，∴ ∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°.∴ ∠BOD＝2∠BAD＝50°，∠DOE＝2∠CAD＝50°. ∴ ∠AOE＝180°－∠BOD－∠DOE＝80°.∴ 的度数为50°，的度数为50°，的度数为80°. 7. 如图，在平面直角坐标系中，☉P经过原点O，交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，3），C是劣弧OA的中点，连接BC、AB.求： （1） ☉P的半径. 解：（1） ∵ ∠AOB＝90°，点A、B、O都在☉P上，∴ AB为☉P的直径.∵ A（4，0），B（0，3），∴ OA＝4，OB＝3.∴ 在Rt△AOB中，AB＝＝5..∴ ☉P的半径为. （2） 弦BC的长. 解：（2） 如图，连接PC，交OA于点D，连接AC.∵ C是劣弧OA的中点，∴ 易得PC⊥OA.∴ OD＝AD＝OA＝2.∵ P为AB的中点，∴ PD为△ABO的中位线. ∴ PD＝OB＝.∴ CD＝PC－PD＝－＝1.∴ 在Rt△ACD中，AC＝＝.∵ AB为☉P的直