2024年中考数学 苏科版 二轮复习高频考点突破课件对称图形——圆

对称图形——圆 ⁠ 考点一　圆的有关性质及弧、弦、圆心角之间的关系 典例1　如图①，在☉O中，C、D是直径AB上的两点，且AC＝BD，在AB上方作MC⊥AB，ND⊥AB，点M、N在☉O上.求证：＝. 思路导引　如图②，连接OM、ON.要证明＝，根据弧、弦和圆心角之间的关系，可知要先证明∠COM与∠DON相等，因此，可以先证明Rt△OMC≌Rt△OND来证明∠COM＝∠DON，进而解决问题. ∵ MC⊥AB，DN⊥AB， ∴ ∠OCM＝∠ODN＝90°. 在Rt△OMC和Rt△OND中， ∴ Rt△OMC≌Rt△OND. ∴ ∠COM＝∠DON. ∴ ＝. 规范解答　如图②，连接OM、ON. ∵ AB是☉O的直径，C、D是直径AB上的两点，且AC＝BD， ∴ OA－AC＝OB－BD，即OC＝OD. 方法归纳 运用弧、弦与圆心角之间的关系转化问题 　　解决这类要说明在同一个圆或等圆中的两条弧、两条弦或两个圆心角相等的问题时，往往可以根据弧、弦与圆心角之间的关系转化问题，只要其中一组量相等，那么其他两组量也分别相等. ⁠ 1. 如图，MN是☉O的直径，MN＝4，点A在☉O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点. （1） 利用尺规作图，确定当PA＋PB的值最小时点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）. 解：（1） 如图，点P即为所求作. （2） 求PA＋PB的最小值. 解：（2） 如图，连接PA、OA'、OB、OA.由（1）， 可知PA＋PB的最小值即为A'B的长.∵ OA＝OM， ∴ ∠OAM＝∠AMN＝30°.∵ A'为点A关于MN的对称点，∴ ∠AON＝∠A'ON＝∠AMN＋∠OAM＝60°.又∵ B为的中点，∴ ＝.∴ ∠AOB＝∠BON＝∠AON＝30°.∴ ∠A'OB＝∠A'ON＋∠BON＝90°. 又∵ MN＝4，∴ OA'＝OB＝MN＝2.∴ 在Rt△A'OB中，A'B＝＝2.∴ PA＋PB的最小值为2. 考点二　垂径定理 典例2　如图①，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施.某次洪水中，拱顶P离水面只有2m，即PN＝2m. （2） 通过计算说明是否需要采取紧急措施. （1） 求拱桥所在的圆的半径. 思路导引　（1） 由垂径定理，可知AM＝BM，拱桥所在的圆的圆心O在直线PM上，因而可以构造直角三角形，运用勾股定理建立方程，即可求出半径.（2） 探究是否需要采取紧急措施，也就是求A'B'的长与15m的大小关系，从而将问题转化到三角形中，求A'N的长，即可得出结论. 在Rt△AOM中，OM＝OP－PM＝（x－9）m，由勾股定理，得OA2＝OM2＋AM2，即x2＝（x－9）2＋152，解得x＝17. ∴ 拱桥所在的圆的半径为17m. 规范解答　（1） 如图②，设圆弧所在圆的圆心为点O，易得点O在直线PM上，延长PM到点O，连接OA. 设半径为xm，则OA＝OP＝xm. 由垂径定理，可知AM＝BM. ∵ AB＝30m， ∴ AM＝AB＝15m. （2） 如图②，连接OA'. ∵ OP＝17m， ∴ ON＝OP－PN＝17－2＝15（m）. 易知A'N＝B'N，OA'＝OP＝17m， ∴ 在Rt△A'ON中，A'N＝＝＝8（m）. ∴ A'B'＝2A'N＝16m＞15m. ∴ 不需要采取紧急措施. ⁠ 2. 如图所示为某座圆弧形蔬菜棚，跨度AB＝3.2m，拱高DC＝0.8m（C为AB的中点，D为的中点）. （1） 求该圆弧所在的圆的半径. 解：（1） 如图，设所在的圆心为点O，易得点O在直线DC上，延长DC到点O，连接OB.∵ C为AB的中点，∴ BC＝AB＝×3.2＝1.6（m）.设☉O的半径为Rm，则OC＝（R－0.8）m.∵ 易得OD⊥AB，∴ 在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB2＝OC2＋BC2，∴ R2＝（R－0.8）2＋1.62，解得R＝2.∴ 该圆弧所在圆的半径为2m. 第2题答案 （2） 在距蔬菜棚的一端0.4m处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度. 解：（2） 如图，过点O作OH⊥FE，交FE的延长线于点H，连接OF.根据题意，得BE＝0.4m.∵ 易得四边形OCEH为矩形，∴ OH＝CE＝BC－BE＝1.2m.HE＝OC＝OD－DC＝1.2m.∴ 在Rt△OHF中，HF＝＝1.6m.∴ EF＝HF－HE＝0.4m，即支撑杆EF的高度为0.4m. 第2题答案 考点三　圆心角与圆周角、圆内接四边形 典例3　（2022·苏州工业园区期中）如图，BC是☉O的直径，点A在☉O上，连接OA，AD⊥BC，垂足为D，AB＝AE，BE分别交AD、AC于点F、G. （2） 延长AD交☉O于点M，连接ME交AC于点P，求证：ME⊥AC.