2024年中考数学 苏科版 二轮复习专题特训课件等腰三角形的“三线合一”

专题特训　等腰三角形的“三线合一” 类型一　运用“三线合一”求线段的长或角的度数 　　根据等腰三角形底边上的高、中线与顶角的平分线重合，求得角的度数或相应线段的长. 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD于点D，∠BAD＝20°.若BC＝2BD，则∠BAC的度数为 　40°　⁠.  （第1题） 40° 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数. （第2题） 解∶∵ AB＝AC，AE平分∠BAC，∴ AE⊥BC.∵ ∠ADC＝125°，∴ ∠CDE＝180°－∠ADC＝55°.∴ ∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵ CD平分∠ACB， ∴ ∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB＝70°.∴ ∠BAC＝180°－（∠B＋∠ACB）＝40°. 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝BC，DE⊥AB于点E.若CD＝4，且△BDC的周长为24，求AE的长. （第3题） 解∶∵ AD＝DB＝BC，CD＝4，且△BDC的周长为24，∴ AD＝DB＝BC＝10. ∴ AC＝AD＋CD＝14.∵ AB＝AC，∴ AB＝14.∵ AD＝DB，DE⊥AB，∴ AE＝AB＝7. 类型二　运用“三线合一”说明线段或角相等 4. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上. （第4题） （1） 求证∶BE＝CE. 解∶（1） ∵ AB＝AC，D是BC的中点，∴ AD⊥BC.∴ AD垂直平分BC.∴ BE＝CE. （2） 如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，∠BAC＝45°，原题设其他条件不变.求证∶AE＝BC. （第4题） 解∶（2） ∵ BF⊥AC，∠BAC＝45°，∴ ∠AFE＝∠BFC＝90°，△ABF是等腰直角三角形.∴ AF＝BF.∵ AB＝AC，D是BC的中点，∴ AD⊥BC.∴ ∠EAF＋∠C＝90°.∵ BF⊥AC，∴ ∠CBF＋∠C＝90°.∴ ∠EAF＝∠CBF.在△AEF和△BCF中，∴ △AEF≌△BCF.∴ AE＝BC. 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线. （1） 求证∶AM∥BC. 解∶（1） ∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ ∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.∵ AM平分∠EAC，∴ ∠EAM＝∠MAC＝∠EAC. ∴ ∠MAD＝∠MAC＋∠DAC＝∠EAC＋∠BAC＝×180°＝90°.∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝90°.∴ ∠MAD＋∠ADC＝180°.∴ AM∥BC. （第5题） （2） 若DN平分∠ADC，交AM于点N，判断△ADN的形状，并说明理由. 解∶（2） △ADN是等腰直角三角形.理由∶∵ AM∥BC， ∴ ∠AND＝∠NDC.∵ DN平分∠ADC，∴ ∠ADN＝∠NDC＝∠AND.∴ AD＝AN.由（1），得∠MAD＝90°，∴ △ADN是等腰直角三角形. （第5题） 类型三　运用“三线合一”说明线段之间的位置关系 　　将等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线转化为底边上的高，进而揭示两条线段之间的位置关系. 6. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，且满足AD＝AE. （1） 求证∶∠ABE＝∠ACD. 解∶（1） 在△ABE和△ACD中， ∴ △ABE≌△ACD.∴ ∠ABE＝∠ACD. （第6题） （2） 连接AO，试判断AO与BC的位置关系，并证明. 解∶（2） AO⊥BC.∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB.∵ ∠ABE＝∠ACD，∴ ∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD.∴ ∠OBC＝∠OCB. ∴ OB＝OC.在△AOB和△AOC中，∴ △AOB≌△AOC.∴ ∠BAO＝∠CAO.又∵ AB＝AC，∴ AO⊥BC. （第6题） 7. ★在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰三角形DBE，取CE的中点G，连接AG、DG. （1） 如图①，若BE＝AE，∠BDE＝120°，∠BAC＝60°.求证∶AG⊥DG. （第7题） 解∶（1） 如图①，延长DG至点H，使GH＝GD，连接AD、AH、CH.∵ G为CE的中点，∴ GC＝GE.在△CHG和△EDG中，∵ GH＝GD，∠CGH＝∠EGD，GC＝GE，∴ △CHG≌△EDG.∴ CH＝ED，∠HCG＝∠DEG.∵ △DBE是等腰三角形，∠BDE＝120°，∴ BD＝ED＝CH，∠BED＝∠EBD＝30°.∵ AB＝AC，∠BAC＝60°，∴ △ABC为等边三角形.∴ AC＝BC，∠ACB＝60°.∵ AE＝BE，∴ CE⊥AB，∠ACE＝∠ACB＝30°.∴ ∠BE