2024年中考数学二轮复习高频考点突破：勾股定理 课件

勾股定理 考点一 勾股定理及其证明 典例1 如图①,在Rt ABC中,∠C=90 ,AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发,以2cm/s的速度沿BC运动至点C,设运动时间为ts. (1) 求BC的长. (2) 在点P的运动过程中,是否存在t的值,使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由. 思路导引 (1) 由勾股定理求出BC的长即可.(2) 连接AP,过点P作PE⊥AB于点E,则PE=PC=(8-2t)cm,证 AEP≌ ACP,得AE=AC=6cm,则BE=AB-AE=4cm,再在Rt BEP中,由勾股定理得出方程,求得方程的解即可解决问题. 规范解答 (1) 在Rt ABC中,由勾股定理,得BC2=AB2-AC2,∴ BC=8cm. (2) 存在.由题意,得BP=2tcm,PC=BC-BP=(8-2t)cm. 如图②,当点P恰好运动到∠BAC的平分线上时,点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等.连接AP,过点P作PE⊥AB于点E,则PE=PC=(8-2t)cm. 在Rt AEP和Rt ACP中,∴ Rt AEP≌Rt ACP.∴ AE=AC=6cm. ∴ BE=AB-AE=10-6=4(cm).在Rt BEP中,∠BEP=90 ,由勾股定理,得BP2=BE2+PE2,即(2t)2=42+(8-2t)2,解得t=. ∴ 当t的值为时,点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等. 方法归纳 运用勾股定理求边长 在给定的直角三角形中,当给出两边或一边及其另外两边的数量关系时,常常利用直角三角形的三边关系(即勾股定理)建立适当的方程,即可求得待求的边长. 1. 如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,a=6,b=8,分别以Rt ABC的各边长为直径作半圆,则图中两个“月牙”(涂色部分)的面积为 24 . 24 2. 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.若AC=8,BC=4,求AE的长. 解∶如图,连接BE.∵ DE垂直平分AB,∴ AE=BE. 设AE=BE=x,则CE=8-x.在Rt BCE中,BC2+CE2=BE2,∴ 42+(8-x)2=x2,解得x=5.∴ AE=5. 典例2 把一个直立的火柴盒放倒(如图),请你用不同的方法计算梯形ACED的面积,验证勾股定理(设火柴盒截面宽为a,长为b,对角线的长为c). 思路导引 四边形ACED的面积可利用直角梯形的面积公式直接表示,也可利用三个直角三角形的面积之和来表示. 规范解答 依题意,图中的四边形ACED为直角梯形, BDA为等腰直角三角形,Rt ABC和Rt BDE的形状和大小完全一样. 设梯形ACED的面积为S,则S=(a+b)(a+b)=(a2+b2)+ab. 又∵ S=S BDA+2S ABC=c2+2 ab=c2+ab, ∴ (a2+b2)+ab=c2+ab. ∴ a2+b2=c2. 方法归纳 利用等积法证明勾股定理 对于勾股定理的证明,往往是先观察所给的图形,再利用两种方法表示出图形的面积,从而建立相等关系式,进而整理、变形,使其转化为形如“a2+b2=c2”的形式即可. 3. 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时,也可以用面积法来证明勾股定理,请完成证明过程(提示∶连接BD,BD和AC都可以分割四边形ABCD). 解∶如图,连接BD,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F, 则DF=EC=b-a.∵ S四边形ABCD=S ACD+S ABC=b2+ab, 又∵ S四边形ABCD=S ADB+S DCB=c2+a(b-a), ∴ b2+ab=c2+a(b-a).∴ a2+b2=c2. (第3题答案) (第3题答案) 考点二 勾股定理的逆定理 典例3 如图,在 ABC中,CD⊥AB,垂足为D,CD=12,AD=16,BD=9. (1) 分别求出AC、BC的长. (2) ABC是直角三角形吗?请说明理由. 思路导引 (1) 在Rt ACD中,根据勾股定理可求得AC的长,在Rt CDB中,根据勾股定理可求得BC的长.(2) 由AB=AD+BD,易得AC2+BC2=AB2,根据勾股定理的逆定理可知 ABC是直角三角形. 规范解答 (1) ∵ CD⊥AB,∴ ACD是直角三角形, CDB是直角三角形. 在Rt ACD中,CD=12,AD=16,AC2=CD2+AD2,∴ AC=20.在Rt CDB中,CD=12,BD=9,BC2=CD2+BD2,∴ BC=15. (2) ABC是直角三角形.理由∶∵ AB=AD+BD=25,∴ AB2=625. 由(1),得AC=20,BC=15,∴ AC2+BC