第1章 直角三角形-专题提升（一） 勾股定理的常见应用 同步学习与测评 课件2023-2024学年湘教版八年级数学下册

第1章 直角三角形 专题提升（一） 勾股定理的常见应用 1 类型一 利用勾股定理求边长 方法指导 已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可以求出第三边. 在解 题过程中，经常会涉及勾股定理 的一些变式，如： ① ； ② ； ③ ； ④， . （其中，为直角边长， 为斜边长） 2 解题时需要注意以下两点： （1）运用勾股定理时，一定要分清哪条边是斜边，当题目中没有 明确说明哪条边是斜边时，要分类讨论，写出所有可能的情况，避免 漏解或错解. （2）当所给的三角形不是直角三角形（也称斜三角形）时，通常 作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，这种方法叫作 “化斜为直”. 续表 3 图1 例1 如图1，在中，， ， 交于点，.求 的长. 思路点拨 在中，可由勾股定理求得 的长， 则需先求出， 的长. 根据已知条件，可判定 是等腰三角形，再结合含 角的直角三角形 的性质，通过等量代换，根据“ ”求 出， 的长. 4 图1 解：， ， . . ， . . . . 5 ， ， . ， . . 在 中，由勾股定理， 得 . 图1 1.在中，，，则 的长为_______. 5或 图2 2.如图2，在中，， ， .求 的长. 解：作于点. 在 中， . . 由勾股定理，得. 在 中，由勾股定理，得 . 7 类型二 利用勾股定理求面积 方法指导 利用勾股定理求面积时，通常用到以下结论：如图3，以 的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，则 . _____________________________________ 图3 8 图4 例2 图4是一棵美丽的“勾股树”，其中所有的四边形 都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.已知最 大正方形的边长是 ，求正方形A，B，C，D， ，， 的面积之和. 思路点拨 结合正方形的面积公式与勾股定理，确定 所求的面积和与已知的最大正方形 的面积的关系. 9 图4 解：由勾股定理，得正方形A，B的面积和等于 正方形的面积；正方形C，D的面积和等于正方形 的面积；正方形，的面积和等于正方形 的面积. 即正方形A，B，C，D，，， 的面积之和等于3 个正方形 的面积. 正方形的面积为 ， 正方形A，B，C，D，，，的面积之和为 . 10 图5 3.如图5，正方形的边长为1，其面积记为 ，以 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的 一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 按此规律继续下去，则 的值为( ) . A. B. C. D. 11 图5 提示：由勾股定理，得 . 又，，，故 . 发现规律：，， ， ， ，当 时， . 解：B 12 类型三 利用勾股定理求最短路径 方法指导 1.求直线同侧的两点到直线上一点的最短路径长的方法：找到其中 一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点的线段长就是 最短路径长；以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出一个已 知两条直角边长的直角三角形，利用勾股定理即可求出最短路径长. 2.解决几何体表面上两点间的最短路程问题的方法：先将几何体表 面展开转化为平面图形，再利用“两点之间，线段最短”确定路线，最 后利用勾股定理进行计算. 13 图6 例3 如图6，一个长方体盒子的长、宽、高分别是 ， ，，在的中点 处有一滴蜂蜜，一只小虫从 点处爬到点 处去吃.它有无数种走法，其中最短的路程 是( ) . A. B. C. D. 思路点拨 将长方体盒子展开的方法有很多，最短路程是展开两个面的 情形，根据勾股定理分别求出 的长，再通过比较大小确定最短路程. 14 图7 解 分为三种情况： ①按图7所示的方式展开，连接 . 在中， ， ， 根据勾股定理，得 ②按图8所示的方式展开，连接 . 在中，， ， 根据勾股定理，得 图8 15 ③按图9所示的方式展开，连接 . 图9 在中，， ， 根据勾股定理，得 因为 ， 所以从点处爬到点处的最短路程是 . 16 图6 例3 如图6，一个长方体盒子的长、宽、高分别是 ， ，，在的中点 处有一滴蜂蜜，一只小虫从 点处爬到点 处去吃.它有无数种走法，其中最短的路程 是( ) . A. B. C. D. B 17 图10 4.如图10，牧童早上骑马从小屋 出发，向西走 ，再向北走，到距小河的 处牧马. 他想把马牵到小河边去饮水，然后回小屋. 他要完 成这件事情所走的最短路程是多少？ 18 图7 解：如图7，作点关于的对称点，连接交 于点，则从点沿到河边点处，再沿到小屋 ， 此时路程最短，. 在 中，， ， 根据勾股定