第17章 勾股定理 专题训练 利用勾股定理解题的六种常见题型 2023—2024学年人教版数学八年级下册

第17章 勾股定理 专题训练 利用勾股定理解题的六种常见题型 【题型先知】 【专题训练】 题型1 利用勾股定理求线段长 类型1 求三角形中线段长 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8，则DB的长为 　　⁠. 类型2 求四边形中线段长 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32.求BC和CD的长度. 类型3 求折叠中线段长(方程思想) 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分别是边AB和BC上的点，把△ABC沿直线DE折叠，若B恰好落在AC的中点M上，则CE的长为 　　⁠. 类型4 求动点中线段长 4．如图，∠AOB＝90°，OA＝40 m，OB＝15 m.一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B 点出发，沿直线匀速前进拦截球，在C处截住球.若球滚动的速度与机器人行走的速度相同，则机器人行走的路程BC为多少？ 题型2 利用勾股定理证明线段相等 5．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC. 题型3 利用勾股定理证明线段之间的平方关系 6．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2. 题型4 利用勾股定理解传统数学文化问题 7．《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阃(门槛)一尺，不合四寸，问门广几何？其大意如下：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门(大小相同)，双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺(1尺＝10寸)，求门槛AB的长. 题型5 利用勾股定理求展开图中的最短距离 8．如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度. 题型6 利用勾股定理求动点中的最短距离 9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD的中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，求AM＋MN＋EN的最小值. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【专题训练】 题型1 利用勾股定理求线段长 类型1 求三角形中线段长 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8，则DB的长为 　　⁠. 【答案】5 【解析】利用勾股定理得AB＝10，根据角平分线的性质得到DE＝CD，利用HL证明Rt△AED≌Rt△ACD得到AE＝AC＝6，则BE＝4，设BD＝x，则CD＝DE＝8－x，最后利用勾股定理建立方程即可求解. 类型2 求四边形中线段长 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32.求BC和CD的长度. 【解】如图，连接BD. ∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形. ∴∠1＝60°，BD＝AD＝8. 又∵∠ADC＝150°，∴∠2＝90°. 设BC＝x，则CD＝32－8－8－x＝16－x， 由勾股定理得x2＝82＋(16－x)2， 解得x＝10. ∴BC＝10，CD＝6. 类型3 求折叠中线段长(方程思想) 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分别是边AB和BC上的点，把△ABC沿直线DE折叠，若B恰好落在AC的中点M上，则CE的长为 　　⁠. 【答案】 【解析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝6，结合点M是AC的中点可得CM＝3，由折叠可知ME＝BE＝BC－CE，设CE＝x，则ME＝8－x，在Rt△CME中运用勾股定理求解即可. 类型4 求动点中线段长 4．如图，∠AOB＝90°，OA＝40 m，OB＝15 m.一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B 点出发，沿直线匀速前进拦截球，在C处截住球.若球滚动的速度与机器人行走的速度相同，则机器人行走的路程BC为多少？ 【解】∵球滚动的速度与机器人行走的速度相同， ∴BC＝AC. 设BC＝AC＝x m，则OC＝(40－x)m， 在Rt△BOC中，∵OB2＋OC2＝BC2， ∴152＋(40－x)2＝x2，解得x＝. ∴机器人行走的路程BC为 m. 题型2 利用勾股定理证明线段相等 5．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.