空间几何体的体积、表面积 讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第1讲 简单几何体的表面积与体积 【知识梳理】 知识点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形 表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积 知识点二：棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 知识点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知识点四：圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台＝(S＋＋)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 知识点五：球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径). 2.球的体积公式V＝πR3. 【典例精析】 题型一：棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 【例1】现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． 【变式训练】 1．在三棱锥中，，且，，则该三棱锥的表面积为(    ) A． B． C． D． 2．等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为(　　) A． B．或 C． D．或 3．在边长为2的菱形中，，垂足为点E，以所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为(    ) A． B． C． D． 4．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________． 5．正三棱台的上底面边长，下底面边长，棱台的高为2，则该正三棱台的侧面积为__________. 题型二：柱、锥、台的体积 【例2】(1)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________． 　　 　 第(1)题图　　　　 　　第(2)题图　　 第(3)题图 (2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD­A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S ­ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积为________． (3)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O ­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm．3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g． 【规律方法 】 求几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． [提醒]　求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．　 【变式训练】 1．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16π，则圆锥的体积是(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C．64π D．128π 2．圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3或 cm3 D．192π cm3 3．在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为(    ) A． B． C． D． 4．(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说