第16招 证比例式或等积式的技巧证比例式或等积式的技巧训练课件2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第16招 证比例式或等积式的技巧训练 北师版 九年级上 九年级数学（上）极速提分专训 例 典 例 剖 析 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：AC·CF＝CB·DF. 技巧 1 构造平行线法 分 类 训 练 1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F. 求证：AE·CF＝BF·EC. 【点技巧】 过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题． 技巧 2 三点定型法 分 类 训 练 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME. 技巧 3 构造相似三角形法 分 类 训 练 4．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN. 证明：如图，连接PM，PN. ∵MN是AP的垂直平分线， ∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 技巧 4 等比过渡法 分 类 训 练 5．如图，P是▱ABCD的边BC的延长线上一点，AP分别交BD和CD于点M和N. 求证：AM2＝MN·MP. 技巧 5 两次相似法 分 类 训 练 7．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证： (1)△AMB∽△AND； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°. ∴△AMB∽△AND. 技巧 6 等积代换法 分 类 训 练 8．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE. 技巧 7 等线段代换法 分 类 训 练 9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB， 延长BP交AC于点E，交CF于 点F. 求证：BP2＝PE·PF. 证明：如图，连接PC. ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB. ∴BP＝CP. ∴∠1＝∠2. ∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4. 10．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P. 求证：PD2＝PB·PC. 证明：如图，连接PA. ∵EP是AD的垂直平分线， ∴PA＝PD. ∴∠PDA＝∠PAD. ∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC. ∴∠B＝∠CAP. 解题秘方：本题用“三点定型法”找相似三角形，即将待证的等积式化为比例式＝. 横看：比例式的两个分子中的字母对应的点是A，C，D，F. 竖看：比例式的左端所含字母对应的点构成△ABC，比例式的右端所含字母对应的点构成△DCF，很明显看出这两个三角形不相似，故需要找一个中间比来联系和. 证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，∴CE＝EB＝DE. ∴∠B＝∠BDE＝∠FDA. ∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∴∠FDA＝∠ACD. 又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD. ∴＝. ∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD. ∴＝. ∴＝，即AC·CF＝CB·DF. 证明：如图，过点C作CM∥AB，交DF于点M. ∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB. ∴△CMF∽△BDF. ∴＝. 又∵CM∥AD，∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME. ∴△ADE∽△CME.∴＝. ∵D为AB的中点，∴BD＝AD. ∴＝. ∴＝，即AE·CF＝BF·EC. 2．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F. 求证：＝. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E. ∴△FCD∽△DAE.∴＝. 证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D. ∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D. 又∵∠AME＝∠DMA. ∴△AME∽△DMA. ∴＝，即AM2＝MD·ME. 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°， ∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP. ∴＝，即BP·CP＝BM·CN. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DN，AD