极速提分专训第14招 巧作平行线构造相似三角形课件2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第14招 巧作平行线构造相似三角形 九年级数学（上）极速提分专训 技巧 1 巧连线段的中点构造相似三角形 分 类 训 练 1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP∶PQ∶QD. 解：如图，连接DF. ∵E，F是边BC上的两个三等分点， ∴BE＝EF＝FC. ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD. ∴DF是△ACE的中位线． 【点技巧】 给出边的三等分点或中点，求相关线段的比时，通常连接这些点中的某些点找平行关系，构造相似三角形求解． . . . . 技巧 2 过顶点作平行线构造相似三角形 分 类 训 练 【点方法】 过顶点C作CG∥AB交AE的延长线于点G，构造相似三角形，得到相关线段的比． 技巧 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形 分 类 训 练 技巧 4 过任一点作平行线构造相似三角形 分 类 训 练 【点技巧】 过一点作平行线构造相似三角形，选取的点不同，作平行线的方法也不同，找准对应边是关键． ∴DF∥AE，且DF＝AE.∴DF∥PE.∴＝. ∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE. ∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ. ∴△APQ∽△FDQ.∴＝. 设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a. ∴PQ∶QD＝AP∶DF＝3∶2. ∴BP∶PQ∶QD＝5∶3∶2. 2．如图，在△ABC中，F为边AB上一点，BF∶AF＝3∶2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求的值. 解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G. ∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G. ∵D为CF的中点，∴CD＝DF. 在△ADF和△GDC中， ∴△ADF≌△GDC(AAS)． ∴AF＝CG. ∵BF∶AF＝3∶2，∴AB∶AF＝5∶2. ∵∠CGE＝∠BAE，∠CEG＝∠BEA. ∴△ABE∽△GCE.∴＝＝＝. 3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P. 求证：＝. 证明：如图，过点C作CF∥AB交DP于点F， ∴∠PFC＝∠PDB，∠PCF＝∠PBD. ∴△PCF∽△PBD.∴＝. ∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC. ∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. ∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP. ∴EC＝CF. ∴＝. 4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D. 求证：BC＝2CD.　 【证法一】如图①，过点C作CF∥AB，交DE于点F， ∴∠FCD＝∠B. 又∵∠D为公共角， ∴△CDF∽△BDE. ∴＝. ∵点M为AC边的中点，∴AM＝CM. ∵CF∥AB，∴∠A＝∠MCF. 又∵∠AME＝∠CMF，∴△AME≌△CMF(ASA)． ∴AE＝CF. ∵AE＝AB，BE＝AB－AE，∴BE＝3AE. ∴＝. ∵＝，∴＝＝，即BD＝3CD. 又∵BD＝BC＋CD，∴BC＝2CD. 【证法二】如图②，过点C作CF∥DE，交AB于点F，∴＝. ∵点M为AC边的中点，∴AC＝2AM. ∴AF＝2AE，即AE＝EF. 又∵＝，∴＝2. 又∵CF∥DE，∴＝＝2. ∴BC＝2CD. 【证法三】如图③，过点E作EF∥BC，交AC于点F， ∴∠AEF＝∠B.　 又∵∠A为公共角，∴△AEF∽△ABC. ∴＝＝. 由AE＝AB，知＝＝＝， ∴EF＝BC，AF＝AC. 由EF∥CD，易证得△EFM∽△DCM，∴＝. 又∵AM＝MC，∴MF＝MC. ∴EF＝CD. 又∵EF＝BC，∴BC＝2CD. 【证法四】如图④，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于点F，∴∠F＝∠D，∠FAE＝∠B. ∴△AEF∽△BED. ∴＝. ∵AE＝AB，∴AE＝BE. ∴AF＝BD. 由AF∥CD，易证得△AFM≌△CDM， ∴AF＝CD. ∴CD＝BD.∴BC＝2CD. $$