极速提分专训第13招 成比例线段证明和计算的常用方法训练课件2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第13招 成比例线段证明和计算的常用方法训练 北师版 九年级上 九年级数学（上）极速提分专训 例 典 例 剖 析 如图，已知AD是△ABC的中线． 解题秘方：“平行线或相似三角形”是线段成比例的必备条件，因此在证明成比例线段或求线段的比时，通常作辅助线，构造平行线截线段成比例或相似三角形的模型，而平行线分线段成比例的基本事实可将一条直线上的两条线段的比转换为另一条直线上两条线段的比．本题中已知BD与CD的比、AE与DE的比，过其中一个分点作平行线，可实现比的转换． 解：如图，过点D作DG∥CF交AB于点G. 方法 1 作平行线 分 类 训 练 1．如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，BE＝AD，DE交AB于点F.求证：EF·BC＝AC·DF. 【点方法】 通过作平行线证三角形相似，然后由相似三角形的对应边成比例证等积式． 方法 2 作垂线 分 类 训 练 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是AB上一点，Q是PC上一点(不是中点)，MN过点Q且MN⊥CP，分别交AC，BC于点M，N. 求证：PA∶PB＝CM∶CN. 证明：如图，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则四边 形CEPF为矩形，∴PF＝EC. 易得∠A＝∠B＝45°，∠AEP＝∠BFP＝90°， ∴△AEP∽△BFP. 方法 3 作延长线 分 类 训 练 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，FG⊥AB于点G. 求证：FG2＝CF·BF. 证明：如图，延长GF与AC，交于点H. ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴CD∥FG， ∠AGF＝∠ADE＝90°. ∴∠AFG＝∠AED，∠AHF＝∠ACE，∠AFH＝∠AEC. ∴△AFG∽△AED，△AFH∽△AEC.k 方法 4 作中线 分 类 训 练 4．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于点E，点D在AC边上．若BD＝DC＝EC＝1，求AC的长． 解：如图，取BC的中点M，连接AM. ∵AB⊥AC，∴AM＝CM. ∴∠MAC＝∠C. ∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠C. ∴∠MAC＝∠DBC. 【点方法】 通过作中线构造相似三角形，进而得到相关线段的数量关系，最终求得AC的长． . . 方法 5 作相似三角形 分 类 训 练 (1)若E为AD的中点，射线CE交AB于点F，求； ∵DG∥CF，∴＝. 又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC. ∴BG＝GF. ∵DG∥CF，∴＝. 又∵E为AD的中点，∴AE＝ED. ∴AF＝GF，即AF＝FG＝GB. ∴＝. (2)若E为AD上的一点，且＝，射线CE交AB于点F，求 . 解：∵DG∥CF，∴＝. 又∵＝，∴＝，即FG＝kAF. 由(1)知BG＝GF，∴BG＝GF＝kAF. ∴BF＝2kAF. ∴＝. 证明：如图，过点D作DG∥BC交AB于点G. 易证得△DFG∽△EFB，∴＝. ∵EB＝AD，∴＝. 由DG∥BC易证得△ADG∽△ACB， ∴＝，即＝. ∴＝. ∴EF·BC＝AC·DF. ∴＝. ∴＝.① ∵CP⊥MN于Q，∴∠QCN＋∠QNC＝90°. 又∵∠QCN＋∠QCM＝90°，∴∠QCM＝∠QNC. 又∵∠PEC＝∠MCN＝90°，∴△PEC∽△MCN. ∴＝，即＝.② 由①②得＝，即PA∶PB＝CM∶CN. ∴＝，＝.∴＝. 又∵ED＝EC，∴FG＝FH. ∵∠HCF＝∠BGF＝90°，∠CFH＝∠GFB， ∴△CFH∽△GFB.∴＝. ∴FG·FH＝CF·BF. ∵FG＝FH，∴FG2＝CF·BF. 又∵∠C＝∠C，∴△MAC∽△DBC.∴＝. 又∵DC＝1，MC＝BC，∴AC＝＝BC2.① 易得△AEC∽△BAC，∴＝. 又∵EC＝1，∴AC2＝EC·BC＝BC.② 由①②得AC＝AC4，∴AC＝. 5．如图，直线DF分别交△ABC的BC，AB两边于D，E，与CA的延长线交于F.若＝＝2， 求BE∶AE的值． 解：如图，过点D作AB的平行线交AC于G. ∵＝＝2，∴＝，＝. 易得△FAE∽△FGD，△CGD∽△CAB， ∴＝＝，＝＝. ∴AE＝DG，AB＝3DG.∴BE＝DG. ∴BE∶AE＝7∶2＝. $$