圆锥曲线定值问题解答题专练-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线--定值问题 1．（23-24高三下·北京·开学考试）已知椭圆． (1)求椭圆E的离心率和短轴长； (2)设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C．记直线OP的斜率为，直线BC的斜率为，求的值． 2．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知A为椭圆：上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点，，当AC垂直于x轴时，恰好有， (1)求椭圆离心率； (2)设，，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明，若不是定值，请说明理由． 3．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值. 4．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为，的面积为2，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同于顶点的两点M，N关于轴对称，直线与直线交于点，直线与直线交于点.设点，求的值. 5．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，为直线上一点，过点作的垂线交椭圆于两点，连接与交于点（为坐标原点）.求的值. 6．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与交于A，B两点（异于点P），直线，分别与轴交于点M，N，求的值． 7．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值. 8．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由． 9．（23-24高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值． 10．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知椭圆M：，圆N：，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为． (1)求直线l方程及椭圆M的焦距． (2)直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线--定值问题 1．（23-24高三下·北京·开学考试）已知椭圆． (1)求椭圆E的离心率和短轴长； (2)设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C．记直线OP的斜率为，直线BC的斜率为，求的值． 【解析】（1）由题意得：，所以：椭圆的离心率，短轴长. （2）如图： 由消去并整理得：  ① 由. 此时方程①可化为：，解得：（由条件可知：、异号） 设，则，. 即，所以. 因为，所以可设直线：（，）. 由消去并整理得： 当时，方程有两个不相等的实根. 设，， 则，. 因为，两点关于原点对称，所以 所以：. 所以. 2．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知A为椭圆：上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点，，当AC垂直于x轴时，恰好有， (1)求椭圆离心率； (2)设，，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明，若不是定值，请说明理由． 【解析】（1）因为当AC垂直于x轴时，恰好有，即， 所以设，，则，即， 又由，从而可知，则， 由椭圆的定义可得，则， 即，则， 故椭圆离心率. （2）由（1）得椭圆方程为，焦点坐标为，， 设，，，则， 由椭圆对称性，不妨设在轴上方，则， ①当，的斜率都存在时，直线的方程为：， 联立，得：， 易知，可得，又， 同理，可得； ②若轴，则，此时，即， 从而易知，， 故直线的直线方程为：， 将上式代入椭圆方程得，， 故，即，，这时； ③若轴，则，由椭圆的对称性以及②可知，则，这时也有； 综上所述，是定值． 3．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值. 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）椭圆的标准方程为，可得， 可得直线的方程为， 与椭圆方程联立，可得， 易知，设，所以，， 所以，代入直线的方程得， 所以， 所以直线的方程为， 当时，， 当时，， 所以，， 所以， ， 所以.