2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊四边形问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（特殊四边形问题） 1．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，直线AB与该二次函数的图像交于A，B两点，与二次函数图象的对称轴交于点D，其中A点的坐标为，B点的坐标为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若P为直线上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线与这个二次函数的图象交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得以点D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线与抛物线交于A、C两点．    (1)求点C的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交于E点，当最长时求此时点P的坐标； (3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点．      (1)求出抛物线与直线的解析式； (2)已知点为线段上一动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、，求的最大面积； (3)若点是轴上的一动点，点是抛物线上一动点，当以点、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点的坐标． 5．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)过点的直线交直线于点．当轴时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作直线的平行线交直线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； 6．如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（、为常数）的图象与轴交于点、．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值； (4)点在二次函数的图象上，且点的横坐标为，以点为中心，构造正方形，，且轴，二次函数的图象与正方形的边有个交点，当交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，连接，．    (1)求线段的长度； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线分别交，x轴于点M，N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，Q为P点的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，点E是平移后的抛物线的对称轴上的一点，平面直角坐标系内是否存在一点M，使得以点E、F、Q、M为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点（点在点左侧），与轴交于点．    (1)求的面积； (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的一点，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点的坐标的求解过程写出来． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． (3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由． 11．如图，在矩形中，点为原点，、的长是方程的两根（）．抛物线经过点、，与交于点．      (1)