2024年中考数学二轮复习——平行四边形中的动点问题 讲义 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

2024年中考数学二轮复习——平行四边形中的动点问题 例1．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形， 根据题意可得： AP＝tcm，PD＝（24﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（30﹣2t）cm， ①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP＝BQ， ∴t＝30﹣2t， 解得：t＝10， ∴10s后四边形ABQP是平行四边形； ②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD＝CQ， ∴24﹣t＝2t， 解得：t＝8， ∴8s后四边形PQCD是平行四边形； 综上所述：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形． 例2．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝24cm，DC＝10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒2cm．若点P、Q和四边形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形，则需要经过多长时间？ 解：①以PQAD构成四边形 设x秒成为平行四边形 根据题意得：x＝24﹣2x ∴x＝8 ∴当运动8s时成为平行四边形； ②以PQBC构成四边形 设y秒成为平行四边形 根据题意得： 10﹣y＝2y ∴y ∴当运动s时也成为平行四边形． ③以PAQC构成四边形 设z秒成为平行四边形 10﹣z＝24﹣2z z＝14， 因为z＝14时，24﹣2z＜0 故这种情况不存在 故答案为8秒、秒． 例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒． （1）若PE⊥BC，求BQ的长； （2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示： ∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠C＝45°＝∠B， ∴AB＝AC， ∴BM＝CM， ∴AMBC＝5， ∵AD∥BC， ∴∠PAN＝∠C＝45°， ∵PE⊥BC， ∴PE＝AM＝5，PE⊥AD， ∴△APN和△CEN是等腰直角三角形， ∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t， ∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2， ∴5﹣t＝2t﹣2， 解得：t，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2； （2）存在，t＝4或12；理由如下： 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则AP＝BE， ∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10 解得：t＝4或12 ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12． 例4．如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，AQ＝AP； （2）如图②，当t为何值时，▱AQPD为矩形； （3）当t为何值时，△PEQ是以PE为直角边的直角三角形． 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10， ∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s， ∴AP＝AB﹣BP＝10﹣2t，AQ＝2t， ∵AQ＝AP， ∴10﹣2t＝2t， 解得：t（s）； （2）∵四边形AQPD是矩形， ∴∠PQA＝∠C＝90° 又∵∠BAC＝∠BAC， ∴△AQP∽△ACB， ∴， 即， 解得：t（s）； （3）∵△PEQ是以PE为直角边的直角三角形， ∴分两种情况， ①当DQ⊥AP时，四边形AQPD为菱形， ∴AEAP（10﹣2t）＝5﹣t， ∵∠AEQ＝∠C＝90°，∠EAQ＝∠CAB， ∴△EAQ∽△CAB， ∴， 即， 解得：t（s）； ②当EP⊥PQ时， ∵∠APQ＝∠C＝90°，∠PAQ＝∠CAB， ∴△PAQ∽△CAB， ∴， 即， 解得：t； 综上所述，当t为s或s时，△PEQ是以PE为直角边的直角三角形． 例5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠