2024年高中数学解答题专项训练：数列

2024年高考数学解答题专项训练：数列 1． 已知数列中，，（）. （1）求数列的通项； （2）求数列的前n项和； （3）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围. 2．已知数列是等差数列，，的前项和为，满足，是数列的前项和，且，，成等比数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列前项的和． 3．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，成等差数列， （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）若数列满足，求证：． 4．已知数列的前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 5．对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质． （1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？ （2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则T必为有限集； （3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得成等差数列．若存在，请加以证明；若不存在，说明理由． 6．记数列的前项和为，且满足 （1）求数列的通项公式 （2）数列满足，证明对任意， （3）某铁道线上共有列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算的值（结果保留整数） 参考数据：，， 7．已知函数的首项，且满足. （1）求证：为等比数列，并求； （2）对于实数，表示不超过的最大整数，求的值. 8．已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设是数列的前项和，求证：. 9．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 10．已知为正项数列的前n项的乘积，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）． 11．对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令． （1）如果数列为、、，写出数列、； （2）对于每项均是正整数的有穷数列，证明； （3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，． 12．已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和． 13．已知等差数列和等比数列满足，，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和. 14．设数列的前n项和为，且，，数列的通项公式为． （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）设，求数列的前n项的和． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：因为①， 当时，②， 由①②得，整理得到， 又由， 当时，得到，即， 故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 又时，，所以 （2）解：由（1）知，当时，， 当时，③， ④， 由③④得到， 整理得， 又时，，所以 （3）解：因为，等价于，当时.， 由（1）知，当时，，设， 则对恒成立， 所以， 故当时，，又，所以. 2．【答案】（1）解：当时，，， 两式相减得：， ，即， 所以从第1项开始是公差为的等差数列， 所以， 因为，，成等比数列， 所以 当时， 当时满足上式， 所以，． （2）解由（1）知， 记 则前项的和， 当为奇数时， ， 当为偶数时， ． 3．【答案】（1）解：数列满足，， 所以常数，故数列是首项为，公差为的等差数列， 故． 数列是公比为正数的等比数列，设公比为， ，且，，成等差数列， 所以，即，解得， 所以数列是首项为，公比为的正数的等比数列． 所以． 故：，． （2）解：数列满足，由得，， 所以， ， ； （3）解：证明：数列满足， 时，， 所以 ， 故． 4．【答案】（1）解：解：∵， ∴当时，，两式相减得，. ∵，，所以，∴， ∵，∴， ∴数列是以首项，公比为的等比数列． ∴ （2）解：∵，∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵对任意恒成立， ∴， ∴， ∴恒成立， ∵，∴， ∴的取值范围是． 5．【答案】（1）解：因为， ，但，所以数列不具有性质， 同理可得数列具有性质； （2）解：因为数列具有性质， 所以一定存在一组最小的且，满足，即， 由性质的含义可得， 所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律： 为一个周期中的各项， 所以数列中最多有个不同的项， 所以T最多有个元素，即T为有限集； （3）解：因为数列具有性质，又具有性质， 所以存在，使得， 其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数， 由性质的