2024年高中数学解答题专项训练：函数概念与性质

2024年高考数学解答题专项训练：函数概念与性质 1．已知函数. （1）解不等式； （2）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 2．已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）求不等式的解集. 3．二次函数的最大值为，且满足，，函数（）． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若存在，使得，且的所有零点构成的集合为，证明：． 4． 设函数（且，），是定义域为的奇函数． （1）求的值，判断当时，函数在上的单调性并用定义法证明； （2）若，函数，求的值域． 5． 已知函数 （1）若时，求该函数的值域； （2）若对恒成立，求的取值范围. 6．已知定义在上的函数恒成立， （1）求的取值范围 （2）判断关于方程在上是否有实根？并证明你的结论． 7．已知为偶函数，的奇函数，且满足. （1）求； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围. 8．已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 9．已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数单调增区间； （3）若存在，使得(是自然对数的底数)，求实数的取值范围. 10．若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间． （1）是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式，并判断是否为函数的等域区间． 11．已知定义在上的函数同时满足下面两个条件： ①对任意，都有． ②当时，； （1）求； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）已知，若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 12．已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递增； （2）判断函数的奇偶性；（不需要证明） （3）若时，记函数的最大值为，求. 13．定义在的函数满足：对任意的，，都有，且当时，． （1）求证：函数是奇函数 （2）求证：函数在上是减函数 （3）若，且，，恒成立，求实数的取值范围． 14．函数是定义在实数集上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】（1）等价于， 即，可得. 当时，，即； 当时，无解，即无解； 当时，解得. 综上，当时，的解集为； 当时，无解； 当时，的解集为. （2）对于，恒有， 转化为对于，， 因为， 所以在上单调递减. 所以，即 即，解得所以实数a的取值范围是 2．【答案】（1）解：由得， 所以，化简得，即，解得. （2）解：函数由与及 函数在上单调递增，且， 由对勾函数性质知上单调递增，又在定义域上增， 故由复合函数单调性法则知在上单调递增， 又函数为偶函数，所以由不等式可得， 所以或，所以或， 所以不等式的解集为. 3．【答案】解：（Ⅰ）由可得，对称轴为， 最大值为可设（），又因为， 所以，所以． （Ⅱ）因为，所以（）． 由，化简可得 即． 令， 由判别式，可知在上有解 ①当时，，此时 ②当时，，此时 ③当时，的对称轴是， 在区间上有一根为； 在区间上有一根为． 此时． 综合①②③，成立 4．【答案】（1）解：因为是定义域为的奇函数，则， 所以， 所以，当时，在上单调递增， ，，设 由于，， 则，，得，在上单调递增. （2）解：，得，， 令，由（1）知为增函数，，， 设，所以的值域为． 5．【答案】（1）解：由题知，，，令， ，，，故函数的值域为. （2）解：同（1）令，，即恒成立，， ，易知其在上单调递增，，，的取值范围为 6．【答案】（1）解：， 化简，得， 因为，所以恒成立 显然，当时等号成立． 所以只要，即， 解得：； （2）解：令，则， 令， 又该二次函数的对称轴为：，得在上单调递增， ，故 从而，故在无实根． 7．【答案】（1）解：根据题意，是偶函数，是奇函数，且，① ， 即，② ①+②，得，①-②，得. （2）解：方程有解，则有解，令，当且仅当时取等号， 在有解，即.当时，不等立. 当时，. 当且仅当时取等号，故的取值范围是. （3）解：，令，则. 函数的图象如图所示. 方程有三个解， 有两个根， 且，或，或. 当，有，解得满足题意， 则，解得，则，存在两个值满足； 当时，记解得. 故实数的取值范围为 8．【答案】（1）解：由定义域为的函数是奇函数，可得，即有， 即恒成立， 所以 （2）解：由于，可得函数在上为增函数． 证明：任取，，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即， 所以函数在上为增函数． （3）解：由（2）可得，奇函数f（x）在R上为增函数，则有等价于，即，令，则在R上有解，因为，当且仅当，即t=2