2024年高中数学解答题专项训练：导数及其应用

2024年高考数学解答题专项训练：导数及其应用 1．已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）讨论函数的极值点个数； （3）当函数无极值点时，求证：． 2．已知函数， （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 3．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若，，当时，恒成立，求k的最大值． 4．已知函数． （1）判断函数的零点个数； （2）当时，若对，函数的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围． 5．设函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）若当时，恒有，求实数a的取值范围； （3）设时，求证：． 6．若函数在上有定义，且对于任意不同的，，都有，则称为上的“类函数”. （1）若，判断是否为上的“3类函数”； （2）若为上的“2类函数”，求实数的取值范围； （3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，. 7．已知函数（）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数的图象与x轴相切，求证：. 8．已知函数，其中． （1）当时，证明：； （2）若对任意，都有，求k的取值范围． 9．已知函数（为自然对数的底数）. （1）若，求实数的值； （2）证明：； （3）对恒成立，求取值范围. 10．若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”. （1）证明：为“切合函数”； （2）若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 11．已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在单调递增，求的取值范围. 12．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明； （3）若不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围. 13．已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求的值； （3）求证：. 14．已知函数，，（）. （1）求函数的最小值； （2）若有两个不同极值点，分别记为，，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】（1）当时，， 则， 令，则， 因为，所以．则在上单调递减， 又因为， 所以使得在上单调递增，在上单调递减． 因此，在上的最小值是与两者中的最小者． 因为， 所以函数在上的最小值为． （2）， 由，解得， 易知函数在上单调递增，且值域为， 令，由，解得， 设，则， 因为当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减． 根据时，， 得的大致图像如图所示． 因此有： （ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点； （ⅱ）当时，， 利用，得，此时没有极值点； （ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点； （ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点． 综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点． （3）先证明当时，． 设，则， 记，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递减，， 即当时，不等式成立． 由（2）知，当函数无极值点时，，则， 在不等式中，取，则有， 即不等式成立． 2．【答案】（1）解：，， ，， 上单调递增，上单调递减. （2）解：，， 在上单调递增，上单调递减. ， ， 因，所以函数在区间上为上凸函数， 函数在区间的图象如图所示. 不妨设，则. 连接和点的直线l2的方程为：， 当时，， 由图可知，所以要证明，只需证明，即只需证明， 连接的直线的方程为，设函数的图象的与平行的切线是直线， ，， 直线的方程为，即， 令，得直线与直线的交点横坐标为， 由图可知，， 3．【答案】（1）解：依题意，，， 若，则，在上单调递增； 若，则，令， 解得，， 其中， 若，则， 故当时， ，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，则，故当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）解：依题意，， 即，即， 即恒成立， 令，（），有恒成立， 得恒成立，所以恒成立 令， 有，（注：） （ⅰ）当时，即时， 易知方程有一根大于1，一根小于1， 所以在上单调递增， 故有，不符； （ⅱ）当时，有， 所以， 当且仅当时等号成立，从而在上单调递减， 故当时，恒有，符合． 由ⅰ、ⅱ可知，正实数k的取值范围为， 因此，k的最大值为2 4．【答案】（1）解：由得，设， 则问题转化为求直线与的图象有几个不同的交点． 由， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 的最大值为． 又当时，，当时，，故的图象如图． 由图可知，当时，直线与的图象有两个交点，即有两个零点； 当或时，有一个零点； 当时，没有零点； （2）解：由已知