7.2 复数的运算（7大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

7.2 复数的运算 1、通过实数的加法法则帮助学生认识复数的加法法则，并理解其加法法则规定的合理性； 2、借助复数的几何意义帮助学生理解复数加法的几何意义； 3、类比复数的加法法则和几何意义来引导学生学习掌握复数的减法法则及其几何意义。 一、复数的加法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 二、复数的减法 1、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 三、复数加法与减法的几何意义 1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 四、复数的乘法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 4、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 五、复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 六、复数方程的解 在复数范围内，实系数