专题1-2 向量回顾+解三角形常考题梳理2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习核心题型突破（人教A版2019必修第二册）

专题02 向量回顾+解三角形常考题梳理 一、向量中档题回顾 1 二、三角形解的个数问题 3 三、余弦定理与完全平方公式结合求周长和面积 4 四、解三角形遇到中线的处理策略 6 五、解三角形遇到角平分线的处理策略 7 六、解三角形利用三角函数或基本不等式求最值 10 一、向量中档题回顾 1．（易错题）设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 . 2．（极化恒等式）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 3．（投影法）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为 ．    4．（基本不等式）在中，点是边上的动点（点异于，），且，若，则的最小值为 . 5．（向量的拆分）如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（系数和为1+基本不等式）在中，，，与交于点，，，用和表示，则 ；过点的直线交，于点，，设，（，），则的最小值为 . 二、三角形解的个数问题 已知三角形的边角边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定． 已知边边角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 策略一：由正弦定理得， ①若，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若，则满足条件的三角形个数为1或2. 策略二：结合图像 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【例1】中，已知，，.（角对边型） （1）若恰有一解，则实数的取值范围是　　； （2）若有两解，则实数的取值范围是　　； （3）若无解，则实数的取值范围是　　； 【例2】在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是________（角非对边型） 【变式练习1】在中，，，若当时的有两解，则的取值范围是　 　． 【变式练习2】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是___________. 三、余弦定理与完全平方公式结合求周长和面积 7．（2023高一下·广东阳江·期末）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，已知 ，． (1) 若，求；(2)若，求的周长． 8．（高二下·广东汕头·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角的值：(2)当时，求的面积. 【巩固练习1】在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______． 【巩固练习2】的角的对边分别为的面积为，若，求的周长. 四、解三角形遇到中线的处理策略 中线或比例端点的处理策略： 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD长． 策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二：向量法，,等式两边再进行平方 策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”也适用，此时需要倍长等分线构造相似 9．（2023高一下·重庆·期中）在中，已知角所对边长分别为，且满足，为的中点，，则（    ） A． B．3 C． D．4 10．（2023高一下·福建福州·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)若，求△ABC的周长；(2)已知，且边BC上有一点D满足，求AD. 五、解三角形遇到角平分线的处理策略 角平分线问题的处理策略： △ABC中，AD平分∠BAC. 策略一：角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而 整理得 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理 ， 策略三：角互补： +, 在△,在△ 11．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角；(2)若是的角平分线，且，，求的面积 12．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角；(2)若是边的中点，，求. 13．（2023高一下·浙江台州·阶段练习）的内角的对边分别为已知，为的角平分线． (1)求的值；(2)若，求的长． 14．（23-24高二下·河南信阳·开学考试）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角；(2)设是边上一点，为角平分线且，求的值． 六、解三角形利用三角函数或基本不等式求最值 角对边型周长与面积最值问题的几种解法 例1：△