立体几何(求距离问题)解答题专练——2024届高三数学二轮复习

立体几何--求距离问题 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求： （i）直线与平面所成角的正弦值； （ii）点到平面的距离． 条件①：二面角的大小为； 条件②： 条件③：． 2．（23-24高三下·北京西城·开学考试）如图，长方体中，，点为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求的长，及二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 3．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）直三棱柱中，点M、N分别为、中点． (1)求证：平面； (2)已知，，． （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离． 4．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 5．（23-24高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面垂直，如果垂直，求此时点到平面的距离，如果不垂直，说明理由． 6．（23-24高二上·北京房山·期中）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 7．（22-23高三上·北京朝阳·期中）如图，在三棱锥中，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离． 8．（2023·北京丰台·三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离. 9．（2023·北京通州·三模）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点. (1)证明：. (2)若是等腰直角三角形，，，点E在棱AD上（与A，D不重合），若二面角的大小为，求点D到面BCE的距离. 10．（22-23高三下·北京东城·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）. (1)设平面与平面相交于直线，求证：； (2)是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当为线段的中点时，求点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何--求距离问题 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求： （i）直线与平面所成角的正弦值； （ii）点到平面的距离． 条件①：二面角的大小为； 条件②： 条件③：． 【解析】  （1）连接，交于，连接， 底面是正方形，故是的中点， 又因为为棱的中点， 所以，在中， 而平面平面， 所以平面． （2）选①②： 因为四边形是正方形， 所以， 又因为，所以， 因为二面角的大小为，平面平面，所以， 在中，， 所以， 故， 又因为平面， 所以平面， 选①③： 因为四边形是正方形， 所以， 又因为，所以， 因为二面角的大小为，平面平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为为中点，所以， 所以， 所以，即， 因为平面， 所以平面， 选②③： 因为四边形是正方形， 所以， 因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为为中点，所以， 在中，， 故， 因为平面， 所以平面， 选①②③同上． 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 故， 令为面的一个法向量，则 令，则， （i）因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， （ii）由（i）知点到平面的距离． 2．（23-24高三下·北京西城·开学考试）如图，长方体中，，点为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求的长，及二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）连接交于F，连接， 由于四边形为正方形，故O为的中点， 而点为的中点，故, 又平面，平面，故平面； （2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则, 由于平面，故， 即，则，（负值舍）， 故； 平面的法向量可取为，平面的法向量可取为， 则， 由原图可知二面角为钝角，故其余弦值为； （3