2024年九年级数学中考一轮复习讲义一次函数及其运用

初中数学中考一轮复习-一次函数及其运用 一、知识清单梳理 知识点一:函 数 1. 函数的相关概念 (1)常量、变量:在一个变化过程中,数值始终不变的量叫做常量,数值发生变化的量叫做变量. (2)函数:在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就称x是自变量,y是x的函数.函数的表示方法有:列表法、图像法、解析法. (3)函数自变量的取值范围:一般原则为:整式为全体实数;分式的分母不为零;二次根式的被开方数为非负数;使实际问题有意义. 失分点警示 函数解析式,同时有几个代数式,函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例:函数y=中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5. 2. 函数的图象 (1)分析实际问题判断函数图象的方法: ①找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象中找对应点; ②找特殊点:即交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化; ③判断图象趋势:判断出函数的增减性,图象的倾斜方向. (2)以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法: ①设时间为t(或线段长为x),找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子表示, 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 读取函数图象增减性的技巧:①当函数图象从左到右呈“上升”(“下降”)状态时,函数y随x的增大而增大(减小);②函数值变化越大,图象越陡峭;③当函数y值始终是同一个常数,那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段. 知识点二 :一次函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例 3. 一次函数的相关概念 (1)概念:一般来说,形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数.特别地,当b =0时,称为正比例函数. (2)图象形状:一次函数y=kx+b是一条经过点(0,b)和(-b/k,0)的直线.特别地,正比例函数y=kx的图象是一条恒经过点(0,0)的直线. 例:当k=1时,函数y=kx+k-1是正比例函数, 4. 一次函数的性质 k,b 符号 K>0, b>0 K>0, b<0 K>0,b=0 k<0, b>0 k<0, b<0 k<0, b=0 (1)一次函数y=kx+b中,k确定了倾斜方向和倾斜程度,b确定了与y轴交点的位置. (2)比较两个一次函数函数值的大小:性质法,借助函数的图象,也可以运用数值代入法. 例:已知函数y=-2x+b,函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”). 大致 图象 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 图象性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 5. 一次函数与坐标轴交点坐标 (1)交点坐标:求一次函数与x轴的交点,只需令y=0,解出x即可;求与y轴的交点,只需令x=0,求出y即可.故一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点是,与y轴的交点是(0,b); (2)正比例函数y=kx(k≠0)的图象恒过点(0,0). 例: 一次函数y=x+2与x轴交点的坐标是(-2,0),与y轴交点的坐标是(0,2). 知识点三 :确定一次函数的表达式 6. 确定一次函数表达式的条件 (1)常用方法:待定系数法,其一般步骤为: ①设:设函数表达式为y=kx+b(k≠0); ②代:将已知点的坐标代入函数表达式,解方程或方程组; ③解:求出k与b的值,得到函数表达式. (2)常见类型: ①已知两点确定表达式;②已知两对函数对应值确定表达式; ③平移转化型:如已知函数是由y=2x平移所得到的,且经过点(0,1),则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点(0,1)的坐标代入即可. (1)确定一次函数的表达式需要两组条件,而确定正比例函数的表达式,只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标,可快速解题. 如:已知一次函数经过点(0,2),则可知b=2. 7. 一次函数图象的平移 规律:①一次函数图象平移前后k不变,或两条直线可以通过平移得到,则可知它们的k值相同. ②若向上平移h单位,则b值增大h;若向下平移h单位,则b值减小h. 例:将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度,所得图象的函数关系式为y=-2x+2. 知识点四 :一次函数与方程(组)、不等式的关系 8. 一次函数与方程 一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象与x轴交点的横坐标. 例: (1)已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为(1,0). (2)一次函数y=-3x+12中,当x >4时,y的值为负数. 9. 一次函数与方程组 二元一次方程组 的解两个一次函数y=k1x+b 和y=k1x+b