立体几何解答专项训练　求线段长度——2024届高三数学二轮专题复习

立体几何--求线段长度 1．（2024·北京平谷·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点； (1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 2．（23-24高三下·北京·开学考试）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点. (1)证明：//平面; (2)设，，若二面角的余弦值为，求的长. 3．（23-24高三上·江苏苏州·期末）如图，在多面体中，底面为平行四边形，，矩形所在平面与底面垂直，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 4．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 5．（2023高三·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，． (1)求证：； (2)若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长． 6．（2023·北京海淀·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 7．（2023·北京丰台·二模）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)过点与垂直的平面交直线于点，求的长度． 8．（2023·北京丰台·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，．点E是棱PA的中点，连接OE，OP． (1)求证：平面PCD； (2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 9．（2023重庆永川·阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)点在棱上，直线与所成角余弦值为，求线段长． 10．（22-23高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点分别为线段上的点，． (1)求证：⊥平面； (2)求证：当点不与点重合时，四个点在同一个平面内； (3)当，二面角大小为时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何--求线段长度 1．（2024·北京平谷·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点； (1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【解析】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图： 因为，所以， 所以，N，Q，M四点共面． 因为直线平面，平面，平面平面， 所以．所以四边形是平行四边形． 所．所以为的中点． （2）因为侧面为正方形，所以， 又因平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以，， 又因为正方形，，以B为原点，BA，，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图： 因为， 所以，，，，，， 所以，． 设平面的一个法向量为， 由得即． 取，得． 设，，则， 因为，所以． 所以，，，所以N点坐标为． 因为，所以 设直线与平面所成角为， 则， 解得 ， 所以，即线段的长为． 2．（23-24高三下·北京·开学考试）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点. (1)证明：//平面; (2)设，，若二面角的余弦值为，求的长. 【解析】（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 由几何关系有：， 则直线的方向向量为：，， 设平面的法向量，则：， 据此可得：平面的一个法向量为， 结合可知：，据此可得：平面. （2）结合(1)的结论可知：， 则平面的一个法向量为. 由平面可知平面的一个法向量为：， 据此可得：， 则，解得：，即. 3．（23-24高三上·江苏苏州·期末）如图，在多面体中，底面为平行四边形，，矩形所在平面与底面垂直，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）如图，连接交于点，连接. 因为底面为平行四边形， 所以为的中点. 因为为的中点，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 因为为矩形，所以平面平面， 所以平面. 因为平面平面， 所以平面平面. （2）因为，所以.