17.1 勾股定理 培优训练 2023-2024学年人教版八年级数学下册

17.1 勾股定理 1.勾股定理的应用条件:勾股定理只适用于直角三角形;勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边。 2.利用勾股定理求直角三角形的边长的方法:一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”即一分:分清哪条边是斜边，哪些是直角边。 3.勾股定理的证明: 勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的，先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理.(2)证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理， 4.与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论:两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积，5.勾股定理的简单应用(1)在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用.6.平面展开-最短路径问题:先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，一般情况是两点之间，线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题(2)数形结合的思想:从实际问题中抽象出数学模型7.利用勾股定理表示无理数的方法: (1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边.(2)以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与教轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 8.网格与折鲁问题中结合勾股定理求线段长的方法: (1)设一条未知线段的长为 x(一般设所求线段的长为 x); (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长; (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程;(4)解这个方程，从而求出所求线段长. 练一练 一、单选题 1．下列是勾股数的一组数是（　　） A． 、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(0，4)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交x轴正半轴于点C，则C点坐标为（    ） A．(2，0) B．(3，0) C．(4，0) D．(5，0) 3．在中，，的平分线交于点，，，则到的距离是(    )    A．3 B．4 C．5 D．6 4．题目：“如图，在射线BM上取一点A，设若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：乙答：，丙答： ，则正确的是（　　） A．只有乙答的对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 5．如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，则A，C之间的距离为(   ) A．30m B．40m C．50m D．60m 6．如图，，，，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（    ） A． B．10 C． D． 二、填空题 7．直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边为 ． 8．平面直角坐标系中的点P（5，﹣12）到x的距离是 ，到原点的距离是 ． 9．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为 ． 10．一圆形油罐底面圆的周长为24cm，高为6cm，一只老鼠从距底面lc m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 11．如图，在中，，以为腰，C为顶点在其右侧作等腰直角，当取最大值时，则的长为 ．    12．如图，在中，，，那么长为 ． 13．中，，，的垂直平分线交于，交于，点为边的中点，为直线上一点，则周长的最小值为 ． 三、解答题 14．如图，在ΔABC中，AB＝AC＝10，BC＝8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长． 15．已知：如图，的面积为，现将沿直线向右平移个单位到的位置． (1)求边上的高； (2)若， ①求线段的长； ②连接，当时等腰三角形时，求a的值． 16．定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是近直角三角形，，，则______． (2)在中，，，，若是的平分线． ①求证：为近直角三角形． ②求的长． 17．在中，． (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 18．如图，在等腰中，，，D在上，P是射线上一动点．    (1)如图①，若，，点P在线段上，当时，求此时的面积． (2)如图①，若，，当点P在线段上，且是等腰