6.4.3.2正弦定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3-2正弦定理 任务一：正弦定理 【大任务】如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？也就是“在中，已知，求”的问题. 【思考1-1】在直角三角形中，可以获得，的什么关系？ 在中，有: ；得 又因为 所以上式可以写成即 对于锐角三角形和钝角三角形，关系式是否仍然成立？ 任务一：正弦定理 【思考1-2】此处涉及边、角关系，我们仍然利用向量的什么运算来研究？ 我们可以用向量的数量积来探究. 【思考1-3】向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现转化？ 由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系. 任务一：正弦定理 【思考1-4】我们先在锐角三角形中研究，为找到与A,C互余的角，我们引入一个什么向量辅助？ 过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 即：， 也即.所以. 任务一：正弦定理 【思考1-5】当 是钝角三角形时，是否可以得到相同的结论，不妨设为钝角？ 过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 即：， 也即.所以. 任务一：正弦定理 正弦定理 符号表示：. 【思考1-6】这个比值是？ 任务一：正弦定理 外接圆法：R（R外接圆半径） 任务一：正弦定理 三角形面积公式：S△= 任务一：正弦定理 【思考1-7】还有其他证明方法吗？ 几何法：如图， 所以 任务一：正弦定理 正弦定理：. 【思考1-8】用方程的思想来看正弦定理，正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素？ 有三个等式，每个等式中有四个元素（两角及其对边），知三求一 【思考1-9】利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 可以解已知“两角和一边”和“两边和其中一边的对角”的三角形 任务二：已知两角一边解三角形 【例1】在中，已知，，，解这个三角形. 解： 由正弦定理得： 由 任务三：已知两边及一边的对角解三角形 【例2】在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： (1)当时，此时， (2)当时，此时， 任务三：已知两边及一边的对角解三角形 【例3】已知a=16，b= ，A=60º .解三角形 解或135° ， B为锐角 任务四：三角形个数 【思考4-1】刚才的例题中为什么出现两个解？出现两解时如何检验？ 利用正弦定理求角：可能有两解，需要检验：大边对大角，内角和为180°等； 余弦定理求角：只有一解。 结 规 律 总   A为锐角 A为钝角或者直角         图形         关系式 解 一解 两解 一解 一解 任务四：三角形个数 【思考4-2】已知两边及一边的对角，如何判断解的个数？ a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 【思考4-3】用此种方法验证例题中的解的情况。 任务四：三角形个数 【例4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为 . 解：要使三角形有两解，由正弦定理，只需， 即，解得：. 故实数m的取值范围为. 故答案为： 任务五：正弦定理的变形应用 【思考5-1】利用正弦定理证明以下变形。 (1)(). (2)(化边). (3) (4). (5), 17 任务五：正弦定理的变形应用 【例4】在中，若且试判断的形状. 解：∴ ∴是直角，， ∴2sinBcosC= ∴.∵，∴ ∴是等腰直角三角形. 18 任务五：正弦定理的变形应用 【例5】在中，已知且，角是锐角，则的形状是（ ） 解：，得. 又角是锐角，所以. 又，且都为三角形的内角，所以. 故为等边三角形 19 任务六：三角形边长、周长、面积的最值与范围 【例6】已知锐角内角及对边，满足． （1）求的大小； （2）若，求周长的取值范围． 答案， ． 20 任务六：三角形边长、周长、面积的最值与范围 【例7】在中，． （1）求角A的大小； （2）若的周长为6，求面积S的最大值 答案， 21 任务六：三角形边长、周长、面积的最值与范围 【例8】在锐角中， （1）求角A的大小； （2）当时，求的取值范围． 答案， 22 任务七：三角形中图形问题 【思考7-1】三角形中的隐含条件 (1) A+B+C=， (2) (3) ， (4) (5) 23 任务七：三角形中图形问题 【思考7-2】三角形的面积公式 S= S= (3)= （ 是内切圆半径， 为周长） (4)海伦公式： 24 任务七：三角形中图形问题 【角平分线问题】的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知 ． （1）求角C； （2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长． ； ． 25 任务七：三角形中图形问题 【中线问题】在中，内角的对边长分别为，