5.2 平行线中的“拐点”模型 同步课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第五章 相交线与平行线 专题提升一 平行线中的“拐点”模型 1 模型一 “M”模型 如图1，，点为，之间的一点，连接， ，这两 条线段向与一端凹进去，整体呈“ ”形.当解答有关此类模型的题目时， 一般过平行线间的“拐点”作平行线（过点作 ），再利用平行线 的性质求解，可得结论 . 图1 2 如图2，，当，之间有 个“拐点”时，同理可过每个拐 点作平行线，利用平行线的性质，可得结论 . 图2 3 图3 例1 如图3，将有一个角为 的直角三角尺放 置在两条平行线和上，若 ，则 的度数为( ) . A. B. C. D. 思路点拨 观察图形，发现点在， 之间， 且向与一端凹进去，可利用“ ”模型 求解. 4 图18 提示：如图18，过点作 . 由平行线的性质，得 . 则 . 由 ，，得. 所以 . 答案：B 5 同类训练 图4 1.图4是我们生活中经常接触的小刀的示意图， 刀柄是一个直角梯形（挖去了一个半圆），刀 片上下两边是平行的，转动刀片时会形成 ， ，则____ . 90 6 图5 2.如图5，已知直线， ， ，则____ . 7 图19 提示：如图19，过点作的平行线，过点作 的平行线.由平行线的性质，得 ， .由，得 . 所以 . 又 ， ， 所以 ， 即 . 答案：30 8 模型二 “钢笔尖”模型 如图6，，为直线，之间的一点，连接， ，这 两条线段凸出来，呈“钢笔尖”形.当解答此类模型的题目时，一般过平行 线间的“拐点”作平行线（过点作 ），再利用平行线的性质求解， 可得结论 .如图6，延长 ，，线段 ，与延长线的虚线部分构成 “”模型.由此可知，“ ”模型与“钢笔尖”模型可以 相互转化，我们可根据题目的特点灵活选择合适 的模型进行解答. 图6 9 如图7，，当，之间有 个“拐点”时，同理可过每个拐 点作平行线，利用平行线的性质，可得结论 . 图7 10 图8 例2 如图8，剪去长方形纸片的两个角，并使 ，，那么_____ . 思路点拨 观察图形发现剪去两个角后，纸片呈 “钢笔尖”模型. 11 图20 提示：如图20，过点作，则 . 由平行线的性质，得 ， ，即 . 又 ， ，所以 . 答案：120 12 同类训练 图9 3.如图9，已知， ， ，则____ . 65 提示： . 13 4.如图10，已知，求 的度数. 图10 14 图21 解：如图21，过点作，过点作 ， ， ， （两直线平行，同旁内角互补） ， （两直线平行，同旁内角互补） 15 （两直线平行，同旁内角互补） ， 即 . 图21 模型三 “犀牛角”或“锄头” 模型 当拐点不在两平行线 之间时，可构成“犀牛角”模型 （图11）或“锄头”模型（图12）.当解答有关此类型题目时，通常过拐点 作平行线（过点作 ），再利用平行线的性质求解，可得结论 . 图11 图12 17 例3 空竹古称“胡敲”，也叫“地铃”“空钟”“风葫芦”等.抖空竹是我国一项 传统的民间娱乐项目，有600多年历史.图13是抖空竹的一种情形，将其 抽象成数学问题，其示意图如图14，已知， ， ，求 的度数. 图13 图14 18 思路点拨 观察图形，发现点不在平行线， 之间，构成“犀牛角” 模型，考虑过点作 ，再利用平行线的性质求解. 图14 19 图22 解：如图22，过点作EM ， （两直线平行，同旁内角互补）. 又 ， ，即 . 又 ， . 20 ， （两直线平行，同旁内角互补） . 图22 同类训练 图15 5.如图15，直线， ， ，则 的度数为( ) . C A. B. C. D. 提示：观察图象发现，其符合“锄头”模型，故 22 图16 6.如图16，，则，， 的数量关系为 _____________________. 23 图23 提示：如图23，过点作 ，由平行线的性质， 得 .又，所以 . 由平行线的性质，得 . 又 ，所以 . 答案 24 模型四 “锯齿” 模型 如图17，，，为，之间的2个“拐点”，连接 ， ， ，整体呈“锯齿”形.解答有关此类模型的题时，一般分别过拐点 作平行线（过点作，过点作 ），再利用平行线的性 质求解，可得结论 .当拐点较多时，可将图形 拆分，例如：图17可拆分成“ ”模型和一对内错角. 图17 25 图18 例4 如图18，， ，则 ， ， 的数量关系为( ) . A. B. C. D. 思路点拨 观察图形，发现平行线，之间有两个“拐点”（点， ， 整体呈“锯齿”形.可考虑分别过点，作和 的平行线，再利用