立体几何存在性问题解答题专练——2024届高三数学二轮复习

立体几何存在性问题练习 1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 3．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）如图， 在三棱柱 中，为等边三角形，四边形 是边长为2的正方形， D为AB中点， 且 (1)求证: CD⊥平面； (2)已知点 P 在线段上，且直线AP 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值. 4．（23-24高三上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 5．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面平面ABCD，，，点M为棱PC中点，平面ABM与棱PD交于点N． (1)求证：N是棱PD的中点； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （i）二面角的余弦值； （ii）在棱PA上是否存在点Q，使得平面BDM？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 6．（23-24高三上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为棱的中点. (1)证明：∥平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 7．（21-22高三下·北京·阶段练习）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值. 8．（23-24高三上·北京·期中）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中，，，，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题： (1)求证：平面CDE； (2)求二面角的余弦值． (3)在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 条件①：平面平面ABCD； 条件②：平面平面ABCD； 条件③：． 9．（23-24高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，．   (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面垂直，如果垂直，求此时点到平面的距离，如果不垂直，说明理由． 10．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，，四边形ABCD是正方形，，E是棱PD上的动点，且. (1)证明：平面ABCD； (2)是否存在实数，使得平面PAB与平面AEC所成夹角的余弦值是？若存在.求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何存在性问题练习 1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【解析】（1） 如图，取线段的中点，连接,因分别为的中点,故有, 又因为平面，平面,故平面，平面， 又,则平面平面,因平面，则平面. （2） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则,设点,则，代入坐标得：，即， 于是,,设平面的法向量为，则有故可取， 依题意得，，解得：，即线段的长为1. 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）∵，∴，∴， ∵平面，平面，∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， , 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， ∴， ∴平面和平面夹角的余弦值为. （3）设，则， 设，则，得， ∴，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 由题意，， ∴，此方程无解， ∴在线段上是不存在一点，使得直线与