精品解析：广东省深圳市福田区福田中学2024届高三下学期开学考试数学试题

福田中学2023-2024学年度高三年级第二学期开学考 数学试卷 一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足．其中为虚数单位，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A. B. C. D. 4. 直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 5. 世界三大数学猜想：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在 1976 年和 1994 年荣升为“四色定理”和“费马大定理”. 280多年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的结果是“1＋2”陈氏定理，由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于 4 的偶数，都可以写成两个质数之和. 在不超过20的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的选法种数为（ ） A 28 B. 25 C. 21 D. 12 6 已知，其中，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的偶函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 10. 设数列的前n项和为，且满足，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 数列为递增数列 C. D. 11. 某市为了研究该市空气中的浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表： 64 16 10 10 经计算，则可以推断出（ ） 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 A. 该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64 B. 若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化 C. 在犯错的概率不超过的条件下，认为该市一天空气中浓度与浓度有关 D. 有超过99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关 12. 已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 周长的最小值为14 B. 四边形可能是矩形 C. 直线，的斜率之积为定值 D. 的面积最大值为 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 13. 在的展开式中，的系数为，则该二项展开式中的常数项为__________． 14. 已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________. 15. 已知函数在区间上单调递增，且直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，则实数的取值范围是___________. 16. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，是边长为的等边三角形，的面积为，则球的体积为______． 四､解答题（本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 设等差数列前项和，，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）记，设数列的前项和为，求证. 19. 如图，已知四棱锥，，平面平面，且，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值． 20. 在一次活动课上，老师准备了4个大小完全相同的红包，其中只有一个红包里面有100元，其余三个里面都是白纸.老师邀请甲上台随机抽取一个红包，但不打开红包，然后老师从剩下的三个红包中拿走一个装有白纸的红包，甲此时可以选择将自己选中的红包与剩下的两个红包中的一个进行置换. （1）若以获得有100元的红包概率的大小作为评判的依据，甲是否需要选择置换？请说