第四章 因式分解培优题 2023—2024学年浙教版数学七年级下册

1、 单选 1.有n个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为；将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①；②当时，第三项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上结论正确的是（    ） A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤ 2.已知多项式能分解为两个整系数一次式的乘积，则k的值有（    ）个． A．10 B．8 C．5 D．4 2、 填空 1. 下列各式能在实数范围内因式分解的是：①；②；③；④；⑤；⑥．_______（请填序号）． 2.观察下列多项式的因式分解过程： ； ； ； ……； 按此规律，把多项式因式分解的结果是________． 3.已知为实数，若均为多项式的因式，则__________. 3、 解答题 1.做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． 尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)若，则 ． (3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ． (4)若 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ． A．4             B．0              C．有限个             D．有无数个 2.因为,令=0,则（x+3）(x-2)=0,x=-3或x=2,反过来,x＝2能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式,求m的值; （2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式的两个因式,试求a,b的值; （3）在（2）的条件下,把多项式因式分解的结果为　 ． 3.已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 4.（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值： ， 1 ， 46 ， （2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的与有什么关系？ （3）利用你发现的结论，求：的值． 5.待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1． 因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积． 故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1． 所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． （1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝　　； （2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式； （3）请判断多项式x4+x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由． 6.． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性； （2）利用上面的式子计算： ． 7.观察下列等式，并回答有关问题： (1)填空：（________） (2)若为正整数，猜想因式分解的结果并说明理由； (3)利用（2）的结果比较与的大小． 8.阅读理解： 添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如： 例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) 解：原式＝(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(31