上海市四校(控江中学、大同中学、南模中学、曹杨二中）2024届高三下学期3月联考数学试卷

上海市2024届高三年级第二学期四校联考数学试卷 (控江中学，大同中学，南模中学，曹杨二中） （本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟） 2024.03.06 学校 班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．不等式的解集为 . 2．底面半径长为，母线长为的圆锥的体积为 . 3．已知复数，则 . 4．已知，则 . 5．抛物线的标准方程为 . 6．已知，则 . 7．已知函数在区间上的最大值为，则正数的最小值为 . 8．上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有 .种（结果用数字表示）． 9．已知点，直线与交于点， 则的最大值为 . 10．已知定义在上的函数且则函数的零点个数为 . 11．如图所示，图1中涂色小正方形个数，图2中涂色小正方形个数，图3中涂色小正方形个数，图4中涂色小正方形个数，按照图中所示规律则 . 图1 图2 图3 图 4 12.已知实数，若对任意，不等式恒成立， 则的最大值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13．若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，)，则的值为（ ） A. B. C. D. 14．已知是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 15.已知直线，点，设下列条件中可以推出直线与线段的延长线相交的是（ ） A. B. C. D. 16.已知四棱锥的底面为矩形，平面，点为侧棱（不含端点的线段）上，则点在平面上的射影在（ ） A.棱上 B.内部 C.外部 D.不确定 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，在三棱锥中，平面，平面平面， （1）证明：；（2）求二面角的正切值． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8, 4.9, 5.0,5. 1．视力≥5.0为正常视力． 否则就是近视．某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查，随机抽查了100名近视学生的成绩（按照各科占一定权重计算而得的满分100分的综合成绩），得到频率分布直方图如下： （1）估计该校近视学生学习成绩的第85百分位数；（精确到0.1） （2）已知该校学生的近视率为54％，学生成绩的优秀率为36％（成绩≥85分视作优秀），从该校学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率.（以样本中的频率作为相应的概率） 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．sin A=sm B+sinC在中，若 （1）试判断的形状；（2）如果三角形面积等于，求三角形周长的最小值． 20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知点，椭圆与双曲线有相同的焦点. （1）求双曲线的方程与离心率. （2）点为双曲线且的一部分上的动点. 证明：过点双曲线的切线等分的面积（为原点）. （3）设双曲线的切线与椭圆交于两点，求动弦中点的轨迹方程. 21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数的表达式为 （1）当时，证明; （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市2024届高三年级第二学期四校联考数学试卷(解析版）2024.03.06 (控江中学，大同中学，南模中学，曹杨二中） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】 2．底面半径长为，母线长为的圆锥