17.1 勾股定理 培优练习 2023-2024学年人教版八年级数学下册

17.1 勾股定理 1.勾股定理的应用条件:勾股定理只适用于直角三角形;勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边。 2.利用勾股定理求直角三角形的边长的方法:一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”即一分:分清哪条边是斜边，哪些是直角边。 3.勾股定理的证明: 勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的，先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理.(2)证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理， 4.与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论:两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积，5.勾股定理的简单应用(1)在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用.6.平面展开-最短路径问题:先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，一般情况是两点之间，线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题(2)数形结合的思想:从实际问题中抽象出数学模型7.利用勾股定理表示无理数的方法: (1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边.(2)以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与教轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 8.网格与折鲁问题中结合勾股定理求线段长的方法: (1)设一条未知线段的长为 x(一般设所求线段的长为 x); (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长; (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程;(4)解这个方程，从而求出所求线段长. 练一练 一、单选题 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A． B． C．3，5，7 D．5，12，13 2．直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（    ） A．6厘米 B．8厘米 C．厘米 D．厘米 3．如图，一只蚂蚁从长和宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（    ）    A． B． C． D．无法确定 4．如图，两个正方形的面积分别为64和49，则等于（     ）    A．13 B．15 C．17 D．19 5．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，是四根长度均为5的火柴棒，均位于一条不完整的数轴上方．若点、点分别对应实数，且，则点所对应的实数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 7．在中，，，边上的高，则的面积为 ． 8．如图，已知与都是等边三角形，连接、、，若，，，则的长是 ． 9．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米． 10．如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是 ． 11．中，，，的垂直平分线交于，交于，点为边的中点，为直线上一点，则周长的最小值为 ． 12．如图，点P的坐标为，点 Q 位于 x 轴的正半轴上，若是等腰三角形，则点Q的坐标为 ． 三、解答题 13．A、B两村在河边的同旁，以河边为x轴建立直角坐标系如图所示，A、B村对应的坐标分别为，，现要在河边P处修一个水泵站，分别向A、B两村送水，点P应选在何处，才可使所用的水管最短？请在图中画出点P，并求出所需水管的长度． 14．在中，，过点B作交直线于D，延长至E，使，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)若，试探究与的数量关系并说明理由； (3)如图2，若，，求的面积． 15．如图，在中，，，． (1)设点P在线段上，连接，若，求的长； (2)设点M在线段上，若是等腰三角形，求的长． 16．已知正三角形的边长为4，为内部（含边上）的一点，过点作，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)如图1，点在边上； ①当为中点时，判断点与点G是否重合，并说明理由； ②当时，求出的长； (2)如图2，点在内部，且在线段上，连结，求的取值范围． 17．如图，，是上的一点，且，．    (1)与全等吗？并说明理由； (2)若，求的长． 18．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． 试