17.1 勾股定理课件2023-2024学年人教版数学八年级下册

17.1 勾股定理 1 某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子底部距离墙基的距离是2.5米,请问消防员能否进入三楼灭火? 创设情境 探索新知 A C O B D 勾股定理有着悠久的历史:古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系,古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系,下面让我们一起来通过视频来了解吧。 A B C 我们一起穿越回2500年前,跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家里做客,看到他朋友家用砖铺成的地面(如图). S正方形A+S正方形B=S正方形C 创设情境 探索新知 问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系? 问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系? A B C 一直角边 + 另一直角边 斜边 = 猜想论证 获取新知 问题3 在网格中一般的直角三角形,以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系?观察下图,每个小正方形的面积为单位1 这两幅图中A,B的面积都好求,该怎样求C的面积呢? 方法1:补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形): 左图: 右图: 方法2:分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形) 左图: 右图: 根据前面求出的C的面积直接填出下表: A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系? 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. 由上面的几个例子,我们猜想: a b c 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢?这就需要我们对一般的直角三角形进行证明.到目前为止,对这个命题的证明方法已有几百种之多. a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧. a2+b2 c2 = a b c ∵S大正方形=c2, S小正方形=(b-a)2, ∴S大正方形=4 S三角形+S小正方形, 赵爽弦图 b-a 证明: “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,它是我国古代数学的骄傲.这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. 归纳验证 完善新知 证法2 毕达哥拉斯证法,请先用手中的四个全等的直角三角形拼成一个正方形,然后分析其面积关系后证明吧. 归纳验证 完善新知 a a a a b b b b c c c c a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab, ∴a2 +b2 =c2. 证明: ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab, 归纳验证 完善新知 毕达哥拉斯证法 在我国又称商高定理,在外国则叫毕达哥拉斯定理,或百牛定理. a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形: 勾股定理 a b c 归纳总结 归纳验证 完善新知 解决问题 应用新知 A O B 某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子底部距离墙基的距离是2.5米,请问消防员能否进入三楼灭火? 2.5m 6m ∵AB =AO +OB ∴AB =6 +2.5 AB =42.25 ∴AB=6.5 若a:b=1:2 ,c=5,求a的值。 1. 在Rt ABC中, ∠C=90 . 解: 设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52, 解得 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时,要运用方程思想设未知数,根据勾股定理列方程求解. 归纳 课堂小练 巩固新知 2. 在Rt ABC中,AB=4,AC=3,求BC的长. 解:本题斜边不确定,需分类讨论: 当AB为斜边时,如图 , 当BC为斜边时,如图 , 4 3 A C B 4 3 C A B 图 图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时,其中一较长边可能是直角边,也可能是斜边,这种情况下一定要进行分类讨论,否则容易丢解. 归纳 3.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形E的边长为7cm,求正方形A,B,C,D的面积的和 S1 S2 解:∵ SE= 49 S1=SA+SB S2=SC+SD ∴ SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49 课堂小练 巩固新知 课堂小结 勾股定理 内容 在Rt ABC中, ∠C=90 ,a,b为直角边,c为斜边,则有a2+b2=c2. 思想 方程思想 分类讨论思想 数形结合思