7.1.1 数系的扩充和复数的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1　数系的扩充和复数的概念 数系的演变过程 引入 问题1 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系，回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？ 数系的扩充都是为了解决生产生活中的问题 追问：分别解决了什么实际问题和数学问题？ 从社会实践来看 计数的需要 引入了自然数 自然数集 刻画相反意义的量 整数集 有理数集 无理数集 引入了负数 解决测量等分问题 引入了分数 解决度量正方体对角线的问题 引入了无理数 引入 复数概念的产生 1545年，卡尔丹引入复数的平方根 1637年，笛卡尔给出“虚数”的名称 1777年，欧拉首次使用符合i表示-1的平方根； 1831年，高斯主张用a+bi表示复数 …… 引入 问题2 你能借助下列方程，从解方程的角度加以说明吗？ （1） 方程 x＋4＝3在自然数范围的解 （2） 方程2x＝5在整数范围内的解 （3） 方程x2＝7在有理数范围内的解 （4） 方程x2+1=0在实数范围内的解 探究1 我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示　为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使i2＝－1. 经过扩充后，我们仍希望加法与乘法满足交换律结合律。依次设想，我们 （1）把实数b与i相乘，结果记作bi （2）把实数a与bi相加，结果记作a+bi 我们发现所有的实数与i都可以写成a+bi (a，b∈R)的形式，于是我们就得到了复数的概念。 1.定义：形如__________ (a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，__________所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. 2.表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 知识梳理 a＋bi 全体复数 复数概念 例1 √ 已知复数z1＝3＋2i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于 A.－3 B.3 C.－1 D.1 复数z1＝3＋2i的实部为3，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝3，解得a＝－3. 若复数2＋bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为 训练1 √ 复数2＋bi的实部为2，虚部为b， 由题意知2＋b＝0，所以b＝－2. 2.复数的分类 探究2 复数z＝a＋bi(a，b∈R)在什么情况下表示实数？ 提示　b＝0. 探究3 如何利用集合关系表示实数集R和复数集C? 提示　R C. 知识梳理 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 实数 虚数 a＝0 2.集合表示： 例2 －1 3.复数相等的概念 探究4 复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由其实部a与虚部b唯一确定，若a＋bi＝1＋2i，那么a，b的值分别是什么？ 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔________________.特别地，a＋bi＝0⇔____________.（即如果两个复数实部与虚部分别相等，那么就说这两个复数相等 a＝c且b＝d a＝b＝0 相等复数 提示　a＝1，b＝2. 例3 方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________. 2 由(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0， 思考 两个实数能否比较大小，那么复数可以比较大小吗？ 例4 若复数z＝a＋bi＞0，则a,b满足什么条件？ 若复数z＝a＋bi＞0，则a,b满足a>0,b=0？ 拓展提高 若复数z＝（m+1）＋(m2-9)i<0,则m的值为？ 课堂小结 1. 2. 如果两个复数实部与虚部分别相等，那么就说这两个复数相等 3. 如果两个虚数不能比较大小，两个负数只有虚部为0（即实数）时，才能比较大小。 $$