粽子模型、极化恒等式、奔驰定理与等和线定理专题训练-2024届高三数学二轮专题

粽子模型、极化恒等式、奔驰定理与等和线定理专题训练 “粽子”模型 一个任意三角形ABC（如下图）由其中一顶点发出的一条直线与BC边交于F点，在AB,BC边上分别任取两点D，E。连接DE交AF于O点则有如下恒等式: 向量极化恒等式 极化恒等式：a·b＝2－2. 变式：(1)a·b＝－， a·b＝－. (2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则A·A＝2－2＝A2－M2. “奔驰定理” 定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 等和(高)线定理 等和(高)线 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 对点练习 1.（2015中科大自招）在∆ABC中ABC面积是1 ,BD=2DC CE=2EA AF=2FB AD与BE、FC交于P、R两点BE与FC交于Q点，求面积PQR 2.(高考模拟)如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC,CE上的点，使得(AM/AC)=(CN/CE)=r,当r=_____时，B,M,N 三点共线。 3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．B·C＝4，B·C＝－1，则B·C的值为________． 4. (2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是________． 5. 如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·等于(　　) A．1 B. C. D．－ 6.如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则·的取值范围是________． 7.已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 8.(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 9.如图，设O为△ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋，则等于(　　) A. B. C. D. 10. (2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于(　　) A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．2∶3∶4 D．2∶3∶6 11. 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　) A．3 B．2 C. D．2 12.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为(　　) A．[2,3] B．[1,2] C．[1,3] D．[1,4] 拓展训练 1.如图，AB为⊙O的直径，P是上任一点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　) A．13 B．7 C．5 D．3 2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) A.， B.， C.， D.， 3．如图，在四边形MNPQ中，若＝，||＝6，||＝10，·＝－28，则·等于(　　) A．64 B．42 C．36 D．28 4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是(　　) A．[0,1] B．[0,2] C．[1,3] D．[0,4] 5．(2023·佛山模拟)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足MB＝2MA，则·的最大值是(　　) A．－ B．4 C．12 D．18 6.(多选)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的取值可以是(　　) A．1 B. C．