4.3.2 等比数列的前n项和公式教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计标题：等比数列前n项和 学情分析： 1.知识基础：等差数列的前n项和，等比数列的定义与通项公式，倒序相加法求和等基础知识. 学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，类比学习等比数列前n项和公式 2.不足：发现和提出问题、分析和解决问题的能力；用已有知识与方法进行转化与化归的能力. 3.可能遇到的困难 类比倒序相加法求等差数列前n项和的本质，将等比数列构造出“相同数”，将等式两边要同时乘以公比、错位相减进而求和”，生成错位相减法. 教学目标： 1.掌握等比数列的前n项和公式及其推导方法； 2.会用错位相减法求数列的和，培养逻辑推理、数学运算的核心素养； 3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的问题，培养数学建模的核心素养. 教学重难点： 教学重点：探究等比数列前n项和公式的过程 教学难点：①理解并掌握等比数列求和方法—错位相减法 ②会推导等比数列的前n项和公式 环节 教学过程 设计意图 创设情境，问题导入 【多媒体展示】 相传古印度的国王想要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么？ 发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。 【教师提问】 问题：你认为国王有能力满足发明者的要求吗？ 每个格子里的麦粒数是前一个格子里的两倍，并且有64个格子，麦粒总数会是多少呢？ =？ 通过具体问题分析，思考解决问题的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力. 思维引导，寻求方法 由刚才的例子可知：这实际上就是一个首项为1，公比为2的等比数列的前64项的求和问题。 回忆之前学习过的等差数列求和方法“倒序相加法”的核心思想：将“不同数的求和问题”转化为“相同数的求和问题”。 根据等差数列求和经验，我们能否也将等比数列构造出“相同数”呢？ 有学生想到等式左右两边乘以公比，请学生展示，若没有教师引导提示： ， ① 2， ② 由②－①可得： =18446744073709551615≈1.84×1019 这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法． 思考：这种求和方法能够推广到一般等比数列的前n项和吗？ 利用错位相减法求 （学生独立思考，根据前面的实例，利用错位相减法解决问题，并展示完整解答过程） 之后动画引导学生总结概括出等比数列求和方法的步骤与要点 错位相减法的步骤： ①写和式②乘公比③错位④相减相消⑤化简整理 通过特殊的等比数列求和问题，引发学生的认知冲突，激励学生探究一般的等比数列的求和方法。之后引导学生借鉴“倒序相加法”求和“构造相同数”的核心思想，根据等比数列特征构造出相同数，将等式两边要同时乘以公比、两式相减消除相同项”，，进而生成“错位相减法”. 使学生感悟特殊到一般的数学思想，培养学生的探索精神和创新意识，提升学生数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养。 合作探究，推导公式 【合作探究】学生独立思考、小组成员之间合作交流后得到等比数列前n项和公式，并展示小组交流成果。 推导等比数列前n项和公式： ， 由 得 ． ∴当时， 或． 当q＝1时，． 进而得到等比数列的前n项和公式： 当时， ；当q＝1时，． 等比数列前n项和公式的推导是本节课的重难点，引导学生自主探究等比数列前n项和公式，加强学生对公式的理解，为后续运用公式解决相关问题打好基础。 设置练习，巩固提升 例1　 判断下列式子中公式运用是否正确？ 例2 已知求该等比数列的前8项和 例3. 已知数列{an}是等比数列，请完成下表： 题号 a1 q n an Sn (1) 8 (2) 27 8 (3) -2 -96 -63 设置练习，加强学生对等比数列前n项和公式的运用能力。发展学生逻辑推理，数学运算的核心素养 课堂小结，当堂检测 课堂小结 1. 等比数列求和公式：当q＝1时，； 当时， 或 ． 2．数学方法：数形结合、通分、错位相减 3.数学思想：特殊到一般、转化与化归 当堂检测 1.在数列{an}中,已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于( ) A．－25 B．25 C．－31 D．31 2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A. B. C. D. 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　) A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 4．已知在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1＝__