第五章 分式与分式方程单元复习 讲义 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

分式与分式方程 1、 知识清单梳理 知识点一：分式的相关概念 关键点拨及对应举例 1. 分式的概念 （1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母. 例：下列分式：①;②; ③;④，其中是分式是②③④；最简分式 ③. 2.分式的意义 (1)无意义的条件：当B＝0时，分式无意义； (2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义； (3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0. 失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0. 例： 当的值为0时，则x＝-1. 3.基本性质 ( 1 ) 基本性质：(C≠0)． （2）由基本性质可推理出变号法则为： ； . 由分式的基本性质可将分式进行化简： 例：化简：=. 知识点三 ：分式的运算 4.分式的约分和通分 (1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 即； (2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母，然后根据分式的性质通分. 例：分式和的最简公分母为. 5.分式的加减法 (1)同分母：分母不变，分子相加减.即±＝； (2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即±＝. 例： ＝－1. 6.分式的乘除法 (1)乘法：·＝； (2)除法：＝； (3)乘方：＝ (n为正整数). 例：＝；＝2y； ＝. 7.分式的混合运算 (1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分. (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入. 通关练习 一、单选题 1. 将关于x的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 2. 小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　） A． B． C． D． 3. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 方程的解为（    ） A． B． C． D． 5. 在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 6. 计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 7. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 8. 计算的结果为（   ） A． B． C． D． 9. 将方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 10. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 11. 化简的结果是（    ） A．0 B．1 C．a D． 12. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题 13. 3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人． 14. 已知，则代数式的值为________． 15. 分式方程的解为________________． 16. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______． 17. 方程的解为___________． 三、解答题 18. 化简：． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …… (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 22. 先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的