专题18.22 正方形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题18.22 正方形（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 【知识点二】正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【知识点三】正方形的判定 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角为直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 特别提醒：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 【知识点四】正方形的对称性 1.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2.正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 特别提醒： 【知识点五】四边形之间的关系 1.四边形之间的关系 四边形四条边都相等是菱形 四边形有三个角是直角是矩形 四边形只有一组对边平行是矩形 矩形两腰相等是等腰梯形 矩形一个角是直角是直角梯形 四边形两组对边分别平行（或两组对边分别相等或一组对边平行且相等）是平行四边形 四边形两条对角线互相平分是平行四边形 四边形两组对角分别相等是平行四边形 平行四边形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是菱形 平行四边形有一个角是直角，有一组邻边相等是正方形 平行四边形有一个角是直角（或对角线相等）是矩形 菱形有一个角是直角（或对角线相等）是正方形 矩形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是正方形 2.四种特殊四边形的性质 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形，中心对称图形 菱形 对边平行、四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直评分，且每条对角线平分一组对角 轴对称图形，中心对称图形 正方形 对边平行、四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直评分且相等，每条对角线平分一组对角 轴对称图形，中心对称图形 【考点目录】 【正方形性质与判定的理解】 【考点1】正方形性质的理解； 【考点2】正方形判定的理解； 【正方形性质定理】 【考点3】利用正方形性质证明与求值 【正方形判定定理】 【考点4】利用正方形判定定理证明与求值 【正方形性质定理与判定定理】 【考点5】利用正方形性质定理和判定定理证明与求值 【正方形性质与判定的理解】 【考点1】正方形性质的理解； 【例1】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形中，延长至点E，使得，连接，，交于点F． （1）试探究的形状； （2）求的度数． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见分析；（2） 【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，进而得，即可解决问题； （2）利用正方形的性质及三角形外角定义求出，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题． （1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【分析】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角． 解： A、矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，故不符合题意； B、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，故符合题意； C、菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，故不符合题意； D、菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，故不符合题意． 故选B． 【变式2】（2024·全国·七年级竞赛）如图，点、、是正方体上的三个顶点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查正方体的性质，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 如图