第5.1讲 新结构题型中第19题考点预测之创新定义题型-备战2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用）

2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用） 第5.1讲 新结构题型中第19题考点预测之创新定义题型 本节题目专门针对新结构题型的第19题（17分），难度系数困难 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. ①集合新定义 ②函数新定义 ③数列新定义 ④圆锥曲线新定义 ⑤立体几何新定义 ⑥统计新定义 题型一：集合新定义 【例1】已知正整数，集合.对于中的元素，，定义，令. (1)直接写出的两个元素及的元素个数； (2)已知，，…，，满足对任意，都有，求m的最大值； (3)证明：对任意，，…，，总存在，使得. 【分析】（1）由题可知中的n个数中有任意3个数字为1，数字为0，根据排列组合数可列的元素个数通式为； （2）第二小问等价于同时满足的元素个数最多几个，首先需要线分析最多几个不同元素同一位置的分量可以同时为1，在以此极限情况找到m的不等式关系求出m最大值； （3）由题可知共有个非空子集，并且由题意可知当时，因此证明存在等式，即证明的值必有奇数即可. 【详解】（1），； ，即中6个分量中恰有3个1，故的元素个数为 ； （2）对于的非空子集，设，这里为的第j个分量，定义，规定. 设，令 我们先证明引理：. （反证），令， 不妨设，，…，满足，其中 又因为，且，，故，故，这与矛盾，引理证毕. 回到原题，由引理，得 ，，，符合题意，综上，当时，m的最大值为4 （3）共有个非空子集，记为，，则在每个分量得奇偶性下恰有种不同得状态，由知 由抽屉原理，存在两个不同的的非空子集，设，，有与奇偶性相同， 令，由于，故 令，则 且都为偶数， 不妨设，则为偶数 而为奇数，故且为奇数 故必存在一个，使得为奇数，又由于，从而 一、解答题 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知.定义，设.    (1)若，画出函数的图象并直接写出函数的单调区间； (2)定义区间的长度.若，则.设关于的不等式的解集为.是否存在实数，且，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（2024·广东·模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”． (1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由； (2)已知A是“T集”． （i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A； （ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式． 4．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域． (1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集； (2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集； (3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集． 5．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定. (1)若，写出及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，求证：且. 6．（23-24高一上·浙江杭州·期中）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）. 定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中. (1)族，族，判断族