13.3.2 课时1 等边三角形的性质与判定 分层作业 2023-2024学年数学人教版八年级上册

13.3.2　课时1　等边三角形的性质与判定 【练基础】 必备知识1 等边三角形的性质 1.【2022·张家口月考】如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于 ( ) A.18° B.25° C.30° D.15° 2.如图,△ABC是等边三角形,BC=BD,∠BAD=20°,则∠BCD的度数为 ( ) A.50° B.55° C.60° D.65° 3.如图,过等边△ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,则∠2的度数是 ( ) A.100° B.80° C.60° D.40° 4.若等边△ABC的边长如图所示,则y的值为　 .  5.如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形,∠A=24°,则∠1的度数为　 .  6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△CAP和△CBQ都是等边三角形,BQ和CP交于点H,求证:BQ⊥CP. 必备知识2 等边三角形的判定 7.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定 8.等腰三角形的一边长为4,一个内角为60°,则这个等腰三角形的周长为　 .  必备知识2 【练能力】 9.【河北期中】三个等边三角形的摆放位置如图所示,若∠1+∠2=110°,则∠3的度数为 ( ) A.90° B.70° C.45° D.30° 10.如图,在等边△ABC中,O是BC上任意一点,OE,OF分别与两边垂直,且等边三角形的高为2,则OE+OF的值为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 11.如图,用圆规以直角顶点O为圆心,适当半径画一条弧交直角两边于A,B两点,若再以点A为圆心,OA为半径画弧,与弧AB交于点C,则△AOC的形状为　.  12.【2022·保定期末】如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿BC所在的直线向右平移得到△A'B'C',连接A'C,若BB'=2,则线段A'C的长为　 .  13.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD是△ABC的角平分线. (1)如图1,若AD=BD,求∠A的度数. (2)如图2,在(1)的条件下,作DE⊥AB于点E,连接EC.求证:△EBC是等边三角形. 【练素养】 14.在△ABC中,AB=AC,在△ABC的外部作等边三角形△ACD,E为AC的中点,连接DE并延长交BC于点F,连接BD. (1)如图1,若∠BAC=100°,求∠BDF的度数. (2)如图2,∠ACB的平分线交AB于点M,交EF于点N,连接BN. ①补全图2. ②若BN=DN,求证:MB=MN. 参考答案 练基础 1.D　2.A　3.A 4.3.5 5.36° 6.【解析】证明:∵△CAP和△CBQ都是等边三角形, ∴∠ACP=∠CBQ=60°. ∵∠ACB=90°, ∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=30°. 在△BCH中,∠BHC=180°-∠BCH-∠CBH=180°-30°-60°=90°,∴BQ⊥CP. 7.B 8.12 练能力 9.B　10.D 11.等边三角形 12.4 13.【解析】(1)∵AD=BD,∴∠A=∠DBA. ∵∠DBA=∠DBC,∴∠A=∠DBA=∠DBC. ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°, ∴∠A=30°. (2)证明:∵AD=BD,DE⊥AB, ∴AE=BE,∴CE=BE. ∵∠A=30°,∴∠EBC=60°, ∴△EBC是等边三角形. 练素养 14.【解析】(1)在等边△ACD中,∠CAD=∠ADC=60°,AD=AC. ∵E为AC的中点, ∴∠ADE=∠EDC=30°. ∵AB=AC,∴AD=AB. ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°,∴∠ADB=∠ABD=10°, ∴∠BDF=∠ADF-∠ADB=20°. (2)①补全图形如图所示. ②证明:如图,连接AN. ∵CM平分∠ACB,∴设∠ACM=∠BCM=α. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=2α. 在等边△ACD中, ∵E为AC的中点,∴DN⊥AC,∴NA=NC, ∴∠NAC=∠NCA=α,∴∠DAN=60°+α. 在△ABN和△ADN中, ∴△ABN≌△ADN(SSS), ∴∠ABN=∠ADN=30°,∠BAN=∠DAN=60°+α,∴∠BAC=60°+2α. 在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°, ∴60°+2α+2α+2α=180°,∴α=20°, ∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=10°, ∴∠MNB=∠NBC+∠NCB=30°, ∴∠MN