2024年 九年级数学中考复习 开放探究综合压轴题 专题提升训练

2024年春九年级数学中考复习《开放探究综合压轴题》专题提升训练（附答案） 1．如图（1），有、、三种不同型号的卡片若干张，其中型是边长为 的正方形，型是长为、宽为的长方形，型是边长为的正方形． （1）若用型卡片张，型卡片张，型卡片张拼成了一个正方形（如图（2）），此正方形的边长为_______，根据该图形请写出一条属于因式分解的等式：_________； （2）若要拼一个长为，宽为的长方形，设需要类卡片张，类卡片张，类卡片张，则_______； （3）现有型卡片张，型卡片张，型卡片张，从这张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？有几种拼法？请你通过运算说明理由． 2．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线，，上，，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法： （1）小明说：我只需要过B、C向作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长. （2）小林说：“我们可以改变的形状.如图2，，，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.” （3）小谢说：“我们除了改变的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线，，上，且与之间的距离为1，与之间的距离为2，求AB的长、” 请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度.        3．在△ABC中，，E、D分别是AB、AC上的点（点D不与A、C重合），连接BD、CE，且． （1）如图，若，连接，求证：． （2）如图，若交于点．试求的值． （3）若是边上的中线，设，若满足条件的点有两个，直接写出的取值范围． 4．已知点P为∠MAN边AM上一动点，⊙P切AN于点C，与AM交于点D（点D在点P的右侧），作DF⊥AN于F，交⊙O于点E． （1）连接PE，求证：PC平分∠APE； （2）若DE＝2EF，求∠A的度数； （3）点B为射线AN上一点，且AB＝8，射线BD交⊙P于点Q，sin∠A＝．在P点运动过程中，是否存在某个位置，使得△DQE为等腰三角形？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由． 5．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 6．如图，在△ABC中， tan∠ABC=，∠C=45°，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD=DE=5，动点P从点B出发，沿B-D-E-C向终点C运动，在BD-DE上以每秒5个单位长度的速度运动，在EC上以每秒个单位长度的速度运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点B、点N始终在PQ同侧． 设点P的运动时间为（）（＞0），正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S． （1）当点P在BD-DE上运动时，用含的代数式表示线段DP的长． （2）当点N落在AB边上时，求的值． （3）当点P在DE上运动时，求S与之间的函数关系式． （4）当点P出发时，有一点H从点D出发，在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D-E-D连续做往返运动，直至点P停止运动时，点H也停止运动．连结HN，直接写出HN与DE所夹锐角为45°时的值． 7．综合与探究 如图1，在四边形中，，，. （1）如图1，求的度数； （2）如图2，把四边形沿（在边上，在边上）折叠（折叠前后对应角相等），使点分别落在处，交于点.若，请求出的度数； （3）在（2）的条件下，试探究与之间有何数量关系？并说明理由. 8．如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起． （1）问题发现 如图①，当时，点、、在同一直线上，连接，则的度数为__________，线段、、之间的数量关系是__________； （2）拓展探究 如图②，当时，点、、在同一直线上，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题 如图③，，，，连接、，在绕点旋转的过程中，当时，请直接写出的长 9．如图①，在中，为边上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接． 【观察猜想】 （1）①的数量关系是__