解析几何选填专题——椭圆讲义2024届高三数学二轮复习

第二讲 椭圆 题型一：椭圆定义的应用 【例1】(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( 　 ) A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 (2)椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是(　 ) A．2(＋) B．4＋2 C．＋ D．＋2 (3)设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________． [方法技巧]　 椭圆定义应用的类型及方法 (1)求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程． (2)焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧． (3)求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值． 【变式训练】 1．如图，Q是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1作∠F1QF2外角平分线的垂线交F2Q的延长线于P点，交角平分线于R点，当Q点在椭圆上运动时，R点的轨迹是(　 ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 2．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________． 3．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线与椭圆交于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为_______． 4．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，，分别为直线BP，QF的斜率，则的取值范围是_______． 5．设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=________． 题型二：椭圆的标准方程 【例2】已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　) A．＋＝1　　　　　　 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [方法技巧]　 求椭圆标准方程的2种常用方法 定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程 待定系数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B) 【变式训练】 1．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为(　 ) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 2．(多选)已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为，，的面积为1，离心率为，点P是C上除长轴和短轴端点外的任意一点，的平分线交C的长轴于点M，则(    ) A．椭圆的焦距等于短轴长 B．面积的最大值为 C． D．的取值范围是 题型三：椭圆的几何性质 考法(一)　求椭圆的离心率　 【例3】(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) A．　　 B． C．　 D． (2)已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于直线对称点在上，且，则椭圆的离心率为____________． (3)已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点(P在第一象限)，点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为__________ [方法技巧] 求椭圆离心率的3种方法 (1)直接求出a，c来