解析几何选填专题——双曲线讲义2024届高三数学二轮复习

第三讲 双曲线 题型一：双曲线的定义及其应用 考法(一)　利用定义求轨迹方程　 【例1】已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________ 【变式训练】 1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　 　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 考法(二)　双曲线的标准方程 【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　 ) A．－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．x2－＝1 [方法技巧] 求双曲线标准方程的2种方法 定义法 依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值 待定系数法 设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0) 【变式训练】 1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为π，则C的方程为(　　) A．－y2＝1　　　　 B．x2－＝1或－y2＝1 C．－＝1 D．x2－＝1或－＝1 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点．若的周长为24，，则该双曲线的标准方程为(     ) A． B． C． D． 3．在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线左、右两支分别交于点，若，则的值是 ． 考法(三)　求解“焦点三角形”问题　 【例3】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练】 1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　 ) A．3 B．16＋ C．12＋ D．24 2．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则等于________． 考法(四)　利用定义求最值　 【例4】已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． [方法技巧] 双曲线定义的应用策略 (1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程． (2)在双曲线的有关问题中，若遇到动点到两定点的距离问题，应首先想到双曲线的定义．在双曲线中，涉及|PF1|·|PF2|的问题时，一般都会用到双曲线的定义；涉及焦点三角形面积的问题时： ①若已知角，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，||PF1|－|PF2||＝2a及余弦定理等知识求解； ②若未知角，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|＝c·|y0|求解． 提醒：利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．　　 【变式训练】 1．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋10)2＋y2＝1和(x－10)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　 ) A．12 B．13 C．14 D．15 2．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________． 题型二：双曲线的几何性质 考法(一)　求双曲线的渐近线方程　 【例4】(1)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 (2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x