解析几何选填专题——阿基米德三角形、焦点三角形内切圆讲义2024届高三数学二轮复习

第五讲 圆锥曲线拓展 ——焦点三角形内切圆问题、阿基米德三角形 【方法梳理】 阿基米德焦点三角形性质(弦AB过焦点F时) 性质1:MF⊥AB 性质2:MA⊥MB 性质3:MN∥x轴 性质4:S ABM最小值为p 对于点A,B: ①抛物线焦点弦与抛物线的交点 ②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点 对于点M ③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点 ④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点 满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形” 阿基米德三角形一般性质(弦AB不经过焦点F时) 【性质 1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴. 【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点, 则点P的轨迹为直线 【性质3】若P点轨迹为直线,且该直线与抛物线没有公共点,则定点. 【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为. 【性质5】, 类型一:椭圆焦点三角形内切圆问题 【例1】已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点,为的内心,且,则的离心率为( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1.已知椭圆的左,右焦点分别为,,点在椭圆上,为的内心,记,的面积分别为,且满足,则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 2.若椭圆的离心率为,两个焦点分别为,,为椭圆上异于顶点的任意一点,点是的内心,连接并延长交于点,则( ) A.2 B. C.4 D. 3.(多选)设,为椭圆:的两个焦点,为上一点且在第一象限,为的内心,且内切圆半径为1,则( ) A. B. C. D. 4.(多选)已知,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点(不在轴上),外接圆的圆心为,半径为,内切圆的圆心为,半径为,直线交轴于点,为坐标原点,则( ) A.最大时, B.的最小值为2 C.椭圆的离心率等于 D.的取值范围为 5.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点是椭圆上任意一点,且的取值范围为.当点不在轴上时,设的内切圆半径为,外接圆半径为,则的最大值为 . 类型二:双曲线焦点三角形内切圆问题 【例2】已知点分别为双曲线的左､右焦点,过点的直线交双曲线的右支第一象限于点,若的内切圆的半径为1,则直线的斜率为( ) A. B. C.1 D. 【变式训练】 1.已知双曲线的左、右焦点分别为,,P是双曲线上一点,且(为坐标原点),若内切圆的半径为,则C的离心率是( ) A. B. C. D. 2.(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为、,为双曲线右支上的动点,过作两渐近线的垂线,垂足分别为、.若圆与双曲线的渐近线相切,则下列命题正确的是( ) A.双曲线的离心率 B.当点异于顶点时,的内切圆的圆心总在直线上 C.为定值 D.的最小值为 3.(多选)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点,的内切圆分别切直线于点,内切圆的圆心为,半径为,则( ) A.切点与右焦点重合 B. C. D. 4.如图,为双曲线的左右焦点,过的直线交双曲线于两点,为线段的中点,若对于线段上的任意点,都有成立,且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是( ) A. B. C.2 D. 5.已知双曲线的左､右焦点分别为,过点的直线与双曲线的左支交于,两点,若,则的内切圆周长为 . 【例3】已知双曲线的左、右焦点分别为,过作直线与双曲线的右支交于两点,若内切圆与内切圆的半径的乘积为,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1.(多选)双曲线的左、右焦点分别是,过的直线与双曲线右支交于两点,记和的内切圆半径分别为和,则( ) A.和的内切圆圆心的连线与轴垂直 B.为定值 C.若,则的离心率 D.若,则的渐近线方程为 2.(多选)已知,分别为双曲线的左、右焦点,M为C的右顶点,过的直线与C的右支交于A,B两点(其中点A在第一象限),设点P,Q分别为,的内心,R,r分别为,内切圆的半径,则( ) A.点M在直线PQ上 B.点M在直线PQ的左侧 C. D. 3.(多选)已知分别为双曲线的左、右焦点,过点的直线与双曲线的右支交于两点,记的内切圆的半径为的内切圆的半径为,若,则( ) A.、在直线上 B.双曲线的离心率 C.内切圆半径最小值是 D.的取值范围是 4.(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为、,离心率为,焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点,若、分别为与的内心,则( ) A.的渐近线方程为 B.点与点均在同一条定直线上 C.直线不可能与平行 D.的取值范围为 5.(多选)双曲线的光学性质:从双曲线一个焦点出发的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点,,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线交双曲线的右支于,两点,且在第一象限,,的内心分别为,,其内切圆